Prednášky ZS 2013/14

[Martin Sleziak]

10. prednáška (25.11.):
Ešte sme sa vrátili k spočítateľným množinám, ukázali sme si, že ľubovoľný systém netriviálnych disjunktných intervalov je spočítateľný.
Kardinality. Kardinalita množiny spojitých zobrazení z $\mathbb R$ do $\mathbb R$ je $\mathfrak c$.
Ukázali sme si ešte raz dôkaz, že množina $\mathbb R$ nie je spočítateľná pomocou rozvoja v desiatkovej sústave, aby sme videli ešte jednu ukážku použitia diagonálnej metódy.
Aplikácie. Existencia transcendentných čísel. Existencia funkcií, ktoré nie sú vypočítateľné.
Peanove axiómy. Peanove axiómy. Definícia a vlastnosti sčitovania. Definícia nerovnosti. Ukázali sme, že $(N,\le)$ je čiastočne usporiadaná množina.

EDIT: Dôkaz vety o rekurzívnych konštrukciách, ktorý som urobil na včerajšej prednáške, bol chybný. Na webe je už nová verzia textu, kde je opravený dôkaz: viewtopic.php?f=22&t=380

[Martin Sleziak]

11. prednáška (2.12.):
Peanove axiómy. Stručne sme si povedali o ďalších vlastnostiach vyplývajúcich z Peanových axióm.
Konštrukcia prirodzených čísel. Ukázali sme si konštrukciu prirodzených čísel ako najmenšej induktívnej množiny. Ukázali sme, že spĺňa Peanove axiómy a že $\in$ je ostré lineárne usporiadanie na množine $\mathbb N$. (Už sme nestihli ukázať, že táto množina je aj dobre usporiadaná.)

[Martin Sleziak]

12. prednáška (9.12):
Počas prednášky bola písomka. Na cviku sme potom spravili dôkaz vety o rekurzívnych konštrukciách v Peanovej aritmetike.

[Martin Sleziak]

13. prednáška (16.12.):
Množina prirodzených čísel je dobre usporiadaná. Ukázali sme, že množina $(\mathbb N,\le)$ je dobre usporiadaná (tvrdenie 5.2.12.) (Využívali sme, že ide o lineárne usporiadanie - dôkaz tohoto faktu som na prednáške nerobil.
Konečné množiny. Tarskiho a Dedekindova definícia konečnej množiny a ich ekvivalentné formulácie. Základné vlastnosti konečných množín (zjednotenie T-konečných množín, podmnožina T- konečnej množiny). Dôkaz toho, že obraz T-konečnej množiny je T-konečná množiny a že potenčná množina T-konečnej množiny je T-konečná množina som na prednáške preskočil. Dokázali sme aj ekvivalenciu T-konečnosti a D-konečnosti. (Teda vlastne s výnimkou dôkazov tvrdení 5.4.11 a 5.4.14 sme prešli celú podkapitolu 5.4 venovanú konečným množinám.)