Úlohy ZS 2013/14

[Martin Sleziak]

Úloha 5.1. Nech $\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma\in V$, kde $V$ je ľubovoľný vektorový priestor. Dokážte: Ak $\vec\alpha$, $\vec\beta$, $\vec\gamma$ sú lineárne závislé a súčasne $\vec\alpha$, $\vec\beta$ sú lineárne nezávislé, tak $\vec\gamma$ je lineárna kombinácia vektorov $\vec\alpha$ a $\vec\beta$.

Úloha 5.2. Ukážte, že $1$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2^2}$ sú lineárne nezávislé vo vektorovom priestore $\mathbb R$ nad $\mathbb Q$.

Úloha 5.3. Zistite, či funkcie $1$, $2^x$, $3^x$ sú lineárne nezávislé vo vektorovom priestore $\mathbb R^{\mathbb R}$.

Úloha 5.4. Množiny $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y+z=0\}$ a $T=\{(x,y,z); x+2y+3z=x-y+z=0\}$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. Ukážte, že ak vezmeme ľubovoľný nenulový vektor $\vec\alpha\in S$ a ľubovoľný nenulový vektor $\vec\beta\in T$, tak tieto vektory sú lineárne nezávislé.

Úloha 5.5. Nech $V$ je vektorový priestor nad $\mathbb R$ a $\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma\in V$ sú lineárne nezávislé vektory. Ukážte, že aj vektory $\vec\alpha+\vec\beta$, $\vec\alpha+\vec\gamma$, $\vec\beta+\vec\gamma$ sú lineárne nezávislé. Platilo by takéto tvrdenie aj keby išlo o vektorový priestor nad poľom $\mathbb Z_2$?

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov (ak som nič nezabudol zarátať):
5 Varga Erik
3 Petrucha Jaroslav
2 Rabatin Rastislav
2 Součková Kamila
2 Šuppa Marek

[Martin Sleziak]

Úloha 6.1. Zistite, či dané vektory tvoria bázu v priestore $\mathbb Z_5^3$:
a) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,3)$
b) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$
c) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$, $(1,3,1)$
d) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$

Úloha 6.2. Ukážte, že polynómy stupňa najviac 3 tvoria podpriestor priestoru všetkých funkcií z $\mathbb R$ do $\mathbb R$. Tvoria polynómy $1+x$, $x+x^2$, $x^3-1$, $x^3+x$ bázu tohoto priestoru?

Úloha 6.3. Ak sa to dá, doplňte vektory $(1,3,1,0)$, $(2,1,3,1)$ na bázu priestoru $\mathbb Z_5^4$. (Poznámka: Neskôr sa naučíme úlohy takéhoto typu riešiť jednoduchšie, ale táto úloha je riešiteľná už aj pomocou tých vecí, ktoré sme sa učili doteraz.)

Úloha 6.4. Overte, že $M=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4; x+y+z+w=0, x-y+z-w=0\}$ tvorí podpriestor priestoru $\mathbb R^4$. Nájdite nejakú bázu tohoto podpriestoru.

[Martin Sleziak]

Úloha 7.1. Ukážte, že množina symetrických matíc typu $n\times n$ nad poľom $F$ tvorí podpriestor vektorového priestoru $M_{n,n}(F)$.

Úloha 7.2. Zistite, aká je hodnosť danej matice v~závislosti od parametra $c\in\mathbb R$:
a) $\begin{pmatrix}2&c+1&0\\2&c+1&2+2c\\c&-c&-c\end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix}2c+1&c&-c-1\\1&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$

Úloha 7.3. Zistite, či nasledujúce matice tvoria bázu vektorového priestoru všetkých matíc
typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb R$:
$\left(\begin{smallmatrix}
1 & 2 \\
0 & 4
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
2 & 3 \\
5 & 0
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
3 & 0 \\
1 & 2
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
0 & 5 \\
4 & 2
\end{smallmatrix}\right)$

Úloha 7.4. Ak je to možné, doplňte zadané vektory na bázu priestoru $(\mathbb Z_7)^4$. Uveďte aj stručné zdôvodnenie, prečo práve s vektormi, ktoré dostanete ako výsledok, tvoria zadané vektory bázu.
a) $(1,2,1,0)$, $(1,2,3,3)$, $(2,1,2,3)$
b) $(1,2,5,3)$, $(3,1,5,4)$, $(3,4,4,0)$

Úloha 7.5.*
Určite hodnosť matice:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
a_1 & a_2 & \ldots & a_n & a_{n+1} \\
a_1^2 & a_2^2 &\ldots & a_n^2 & a_{n+1}^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_1^n & a_2^n &\ldots & a_n^n & a_{n+1}^n
\end{pmatrix}
$$
ak viete, že $a_1, \ldots, a_{n+1}$ sú navzájom rôzne reálne čísla
(t.j. $a_i\neq a_j$ pre všetky $i\neq j$).

Pri riešení tejto úlohy môžete použiť fakt, že elementárne stĺpcové operácie nemenia hodnosť, resp. to, že $h(A)=h(A^T)$. (Tento fakt dokážeme neskôr.) Ale mala by sa dať vyriešiť aj bez použitia tejto veci.

[Martin Sleziak]

Úloha 8.1. Nech $V$ a $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ a $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie. Dokážte: Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ sú lineárne závislé vektory, tak aj $f(\vec\alpha_1), \ldots, f(\vec\alpha_n)$ sú lineárne závislé vektory.

Úloha 8.2. Nech $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte:
Ak $S$ je podpriestor priestoru $V$, tak $f[S]= \{f(\vec\alpha); \vec\alpha\in S\}$ je podpriestor priestoru $W$.
(Takto definovaná množina $f[S]$ sa nazýva obraz množiny $S$. Uvedené tvrdenie možno teda stručne sformulovať takto: Obraz podpriestoru je podpriestor.)
Čo dostaneme na základe tohoto výsledku pre $S=\{\vec0\}$? Čo dostaneme pre $S=V$?

Úloha 8.3. Nech $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte:
Ak $T$ je podpriestor priestoru $W$, tak $f^{-1}[T]= \{\vec\alpha\in V: f(\vec\alpha)\in T\}$ je podpriestor priestoru $V$.
(Množina $f^{-1}[T]$ definovaná uvedeným spôsobom sa nazýva vzor množiny $T$. Teda stručne môžeme povedať, že toto tvrdenie hovorí: Vzor podpriestoru je podpriestor.)
Čo dostaneme na základe tohoto výsledku pre $T=\{\vec0\}$? Čo dostaneme pre $T=W$?

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov (ak som nič nezabudol zarátať):
5 Varga Erik
4.5 Novák Jakub
3 Petrucha Jaroslav
3 Rabatin Rastislav
2 Součková Kamila
2 Šuppa Marek

[Martin Sleziak]

Úloha 9.1. Nech $f\colon U\to V$, $g,h \colon V\to W$ sú lineárne zobrazenia. Súčet lineárnych zobrazení definujeme ako $(g+h)(\vec\alpha)=g(\vec\alpha)+h(\vec\alpha)$. Vcelku ľahko sa dá ukázať, že súčet lineárnych zobrazení je lineárne zobrazenie. Dokážte, že platí $(g+h)\circ f=g\circ f+h\circ f$. Čo tento výsledok hovorí o násobení matíc?

Úloha 9.2. $\newcommand{\Tra}{\operatorname{Tr}}$Pre štvorcovú maticu $C$ typu $n\times n$ budeme výraz $\Tra(C)=\sum_{k=1}^n c_{nn}$ nazývať \emph{stopa matice} $C$. (T.j. stopa matice je súčet prvkov, ktoré sú na diagonále.)
Ukážte, že ak $A$, $B$ sú matice typu $n\times n$ nad poľom $F$, tak platia rovnosti $\Tra(A)=\Tra(A)^T$ a $\Tra(AB)=\Tra(BA)$.

Úloha 9.3. Nech $C=AB$, kde $A$, $B$ sú matice. Musí potom platiť $V_C\subseteq V_A$? Musí platiť $V_C\subseteq V_B$? Musí platiť $V_A\subseteq V_C$, $V_B\subseteq V_C$? (Svoje tvrdenie zdôvodnite, t.j. dokážte, alebo nájdite kontrapríklad.)

Úloha 9.4. Nech $A$, $B$ sú matice nad poľom $F$ typu $m\times n$ resp. $n\times k$. Dokážte, že $h(AB)\leq h(A)$. Dokážte, že ak $n=k$ a $B$ je regulárna, tak $h(AB)=h(A)$.

Úloha 9.5. Nájdite maticu zobrazenia $f\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^4$, ktoré spĺňa dané podmienky (alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje):
$f(1,2,3)=(-2,3,1,3)$, $f(-3,1,-2)=(-1,-2,-10,-2)$, $f(1,1,2)=(-1,2,2,2)$ a $f$ je injektívne.

Úloha 9.6. Nájdite maticu zobrazenia $f\colon \mathbb R^4\to\mathbb R^3$, ktoré spĺňa dané podmienky (alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje):
$f(1,2,3,-4)=(2,5,0)$, $f(3,1,4,1)=(0,1,3)$, $f(1,2,3,-4)=(2,5,0)$ a $f$ je surjektívne.

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov (ak som nič nezabudol zarátať):
5 Novák Jakub
5 Varga Erik
3 Petrucha Jaroslav
3 Rabatin Rastislav
2 Součková Kamila
2 Šuppa Marek

[Martin Sleziak]

Úloha 10.1. Nájdite homogénnu sústavu rovníc nad $\mathbb R$, ktorej množina riešení je podpriestor $S=[(1,1,1,-1),(2,3,-1,-6),(3,4,0,-7)]$ priestoru $\mathbb R^4$.

Úloha 10.2. Nájdite homogénnu sústavu rovníc nad $\mathbb R$, ktorej množina riešení je podpriestor $S=[(1,-1,-1,-1),(4,1,-1,0),(-2,1,2,3)]$ priestoru $\mathbb R^4$.

Úloha 10.3. Koľko existuje lineárnych zobrazení $f\colon\mathbb Z_5^3\to\mathbb Z_5^4$ takých, že $f(1,1,2)=(3,1,1,4)$, $f(1,3,4)=(0,1,1,1)$ a $f(2,1,3)=(0,2,2,2)$? Koľko z nich je injektívnych? Koľko z nich je surjektívnych?

Úloha 10.4. Koľko existuje lineárnych zobrazení $f\colon\mathbb Z_5^4\to\mathbb Z_5^3$ takých, že $f(1,1,3,1)=(1,4,1,2)$, $f(1,2,0,1)=(1,0,2,3)$, $f(2,3,3,2)=(2,4,3,0)$? Koľko z nich je injektívnych? Koľko z nich je surjektívnych?

[Martin Sleziak]

Úloha 11.1.
Definujme lineárne zobrazenie $f \colon \mathbb R^4 \to \mathbb R^2$ ako $f(x_1, x_2, x_3, x_4) = (3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4, 2x_1 + 4x_2 + x_3 - x_4)$ a označme $U_1=\operatorname{Ker} f$.

Ďalej definujme lineárne zobrazenie $g \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^4$ ako $g(y_1, y_2) = (y_1 - y_2, y_1 - 3y_2, 2y_1 - 8y_2, 3y_1 - 27y_2)$ a označme $U_2=\operatorname{Im} g$.

Vidíme, že $U_1$ aj $U_2$ sú podpriestory $\mathbb R^4$.

Nájdite bázy priestorov $U_1$, $U_2$, $U_1 \cap U_2$ a $U_1 + U_2$.

Úloha 11.2. Nech $A$, $B$ sú matice nad poľom $F$ typu $m\times n$ resp. $n\times k$. Dokážte, že $h(AB)\leq h(A)$. Dokážte, že ak
$n=k$ a $B$ je regulárna, tak $h(AB)=h(A)$.

Úloha 11.3. Nech $A$, $B$ sú matice nad poľom $F$ typu $m\times n$ resp. $n\times k$. Dokážte, že $h(AB)\leq h(B)$. Dokážte, že ak $m=n$ a $A$ je regulárna, tak $h(AB)=h(B)$.

Poznámka: Úlohy 11.2 a 11.3 sú v istom zmysle ekvivalentné: Ak dokážte jedno tvrdenie, tak z faktu, že hodnosť matice je rovnaká ako hodnosť transponovanej matice hneď dostanete druhé tvrdenie. Skúste sa zamyslieť nad tým, či tieto veci viete dokázať bez použitia tohoto tvrdenia. Inak povedané - ak sa objaví nejaké riešenie niektorej z úloh (z ktorého zároveň vyplýva aj platnosť tvrdenie z tej druhej úlohy), tak som ochotný dať body aj za ďalšie riešenie, ktoré niekto dá na fórum, ak bude založené na inej myšlienke ako predošlé riešenie. (Napríklad ak to nebude len použitie predošlého riešenia a transponovania matíc.)