Úloha 9.3. Sucin matic a vektorove priestory

[Rabatin]

Úloha 9.3. Nech $C=AB$, kde $A$, $B$ sú matice. Musí potom platiť $V_C\subseteq V_A$? Musí platiť $V_C\subseteq V_B$? Musí platiť $V_A\subseteq V_C$, $V_B\subseteq V_C$? (Svoje tvrdenie zdôvodnite, t.j. dokážte, alebo nájdite kontrapríklad.)

Sucin matic je vlastne zlozenie lin. zobrazeni, takze mozeme napisat:
$f_B \circ f_A = f_C$
Nech:
$f_A : X \rightarrow V_A$
$f_B : V_A \rightarrow V_B$
A teda :
$f_C : X \rightarrow V_C$
$f_C$ mozeme aj inak vyjadrit, lebo je to vlastne $f_A \circ b_A$. Toto zlozene zobrazenie je vlastne $X \rightarrow V_B$.
$V_A$ je mnozina vzorov pre zobrazenie $f_B$, takze vobec nemusi platit, ze $V_C \subseteq V_A$. Napriklad $X$ moze byt ${\mathbb R}$, ktora sa zobrazi do $V_A = {\mathbb R}^2$ a ta sa zobrazi do $V_B = {\mathbb R}$. Tak isto nemusi platit opacna inkluzia $V_A \subseteq V_C$
Dalej $V_C \subseteq V_B$. Toto uz plati, ale neplati opacna ikluzia $V_B \subseteq V_C$. Napriklad ak $f_A$ nie je surjektivne, teda existuje $\vec\beta$, pre ktory plati, ze $f_B(\vec\beta) = \vec\alpha$, ale neexistuje $\vec\gamma$, taky, ze $f_A(\vec\gamma) = \vec\beta$.
Dokazme este, ze $V_C \subseteq V_B$. Vieme, ze $f_B(f_A(\vec\alpha)) \in V_C$ a $f_B(\vec\beta) \in V_B$. Teda $V_C$ je iba zuzena mnozina obrazov zobrazenia $f_B$, lebo sa do neho nemusia dostat vsetky vzory.

[Martin Sleziak]

Dalej $V_C \subseteq V_B$. Toto uz plati, ale neplati opacna ikluzia $V_B \subseteq V_C$. Napriklad ak $f_A$ nie je surjektivne, teda existuje $\vec\beta$, pre ktory plati, ze $f_B(\vec\beta) = \vec\alpha$, ale neexistuje $\vec\gamma$, taky, ze $f_A(\vec\gamma) = \vec\beta$.

To, že $f_A$ nie je surjektívne, ešte nemusí znamenať, že dostanete kontrapríklad. Napríklad si zoberte prípad, keď sú matice A, B aj C nulové. (Možno je lepšie skúsiť konkrétny príklad, ak sa snažíte nájsť kontrapríklad.)

Dokazme este, ze $V_C \subseteq V_B$. Vieme, ze $f_B(f_A(\vec\alpha)) \in V_C$ a $f_B(\vec\beta) \in V_B$. Teda $V_C$ je iba zuzena mnozina obrazov zobrazenia $f_B$, lebo sa do neho nemusia dostat vsetky vzory.

Myslím, že rozumiem, čo chcete povedať. Skúsim to prepísať trochu inak.
Každý vektor z $V_C$ je tvaru $f_B(f_A(\vec\alpha))$.
Pretože je to obraz nejakého vektor v zobrazení $f_B$ (konkrétne vektora $f_A(\vec\alpha)$), tak musí patriť aj do $V_B$.

[Rabatin]

Dalej $V_C \subseteq V_B$. Toto uz plati, ale neplati opacna ikluzia $V_B \subseteq V_C$. Napriklad ak $f_A$ nie je surjektivne, teda existuje $\vec\beta$, pre ktory plati, ze $f_B(\vec\beta) = \vec\alpha$, ale neexistuje $\vec\gamma$, taky, ze $f_A(\vec\gamma) = \vec\beta$.

To, že $f_A$ nie je surjektívne, ešte nemusí znamenať, že dostanete kontrapríklad. Napríklad si zoberte prípad, keď sú matice A, B aj C nulové. (Možno je lepšie skúsiť konkrétny príklad, ak sa snažíte nájsť kontrapríklad.)

Nech:
$X = {\mathbb R^2}$
$V_A = {\mathbb R^3}$
$V_B = {\mathbb R^3}$
Vsetky VP su nad polom ${\mathbb R}$.
Nech $f_A(x,y) = (x,y,0)$. Zjavne je to zobrazenie, ktore nie je surjektivne, teda napriklad na obraz $(1,1,1)$ sa nic nezobrazi. Å zjavne je to aj linearne.
Nech $f_B(x,y,z) = (x,y,z)$, co je bijektivne linearne zobrazenie.
Potom do mnoziny obrazov zlozeneho zobrazenie $f_B \circ f_A$ nepatri napriklad vektor $(1,1,1)$. Cize $(1,1,1) \not\in V_C$, ale $f_B(1,1,1) = (1,1,1)$, cize $(1,1,1) \in V_B$. Teda $V_B \not\subseteq V_C$.

[Martin Sleziak]

Nech:
$X = {\mathbb R^2}$
$V_A = {\mathbb R^3}$
$V_B = {\mathbb R^3}$
Vsetky VP su nad polom ${\mathbb R}$.
Nech $f_A(x,y) = (x,y,0)$. Zjavne je to zobrazenie, ktore nie je surjektivne, teda napriklad na obraz $(1,1,1)$ sa nic nezobrazi. Å zjavne je to aj linearne.
Nech $f_B(x,y,z) = (x,y,z)$, co je bijektivne linearne zobrazenie.
Potom do mnoziny obrazov zlozeneho zobrazenie $f_B \circ f_A$ nepatri napriklad vektor $(1,1,1)$. Cize $(1,1,1) \not\in V_C$, ale $f_B(1,1,1) = (1,1,1)$, cize $(1,1,1) \in V_B$. Teda $V_B \not\subseteq V_C$.

Toto je už v poriadku, značím si 1 bod.

Ešte raz zopakujem to isté, čo som už spomínal. Samotný fakt, že $f_A$ nie je surjektívne, ešte nestačil, bolo treba aj vhodne zvoliť $f_B$. Napríklad ak by sme zvolili $f_B(x,y,z)=(x,y,0)$, tak by nám vyšlo $V_B=V_C$.