Úloha 12.2: Hodnosť s parametrom

[kamila_souckova]

Vypočítajte determinant matice
$\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{vmatrix}$
Viete na základe výsledku povedať niečo o hodnosti tejto matice aspoň pre niektoré hodnoty parametra $c\in\mathbb R$?

$\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{vmatrix}
= 2c(c-1) + 2\cdot 2 c(c+1) + 0 - 2\cdot2c^2 - 2c(c+1) - 0 = 4c(c+1) - 4c^2 = 4c(c+1-c) = 4c$

Platí, že determinant je nulový vtedy, keď matica obsahuje nulový riadok alebo 2 rovnaké riadky a tiež že determinant sa nemení pričítaním $c$-násobku riadku k inému, takže ak $c = 0$, tak $h(M) \leq 2$.

[Martin Sleziak]

Správne píšete, že pre hodnoty, kde je determinant nulový (korene) vieme, že hodnosť je najviac dva. Čo vieme o hodnotách $c$, ktoré nie sú koreňmi?

Vypočítajte determinant matice
$\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{vmatrix}$
Viete na základe výsledku povedať niečo o hodnosti tejto matice aspoň pre niektoré hodnoty parametra $c\in\mathbb R$?

$\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{vmatrix}
= 2c(c-1) + 2\cdot 2 c(c+1) + 0 - 2\cdot2c^2 - 2c(c+1) - 0 = 4c(c+1) - 4c^2 = 4c(c+1-c) = 4c$

Platí, že determinant je nulový vtedy, keď matica obsahuje nulový riadok alebo 2 rovnaké riadky a tiež že determinant sa nemení pričítaním $c$-násobku riadku k inému, takže ak $c = 0$, tak $h(M) \leq 2$.

Zrejme tam bude niekde nejaká chybička. Napríklad pre $c=2$
$\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0 \\
2 & 1 & 4 \\
2 & 2 & 2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0 \\
4 & 4 & 4 \\
2 & 2 & 2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 2
\end{pmatrix}$
hodnosť tejto matice určite nie je 3.

BTW toto je jeden z dôvodov, prečo ja uprednostňujem pri výpočte determinantu riadkové/stĺpcové operácie. Myslím si, že tam je menšia pravdepodobnosť chyby.

[kamila_souckova]

Pardon, veru som tam mala chybu - determinant je $2c(c-1) + 2c^2(c+1) - 2c(c+1) - 4c^2 = 2c(c-1+c^2+c-c-1-2c) = 2c(c^2 - c - 2)$. Determinant je teda nulový vtedy, keď $2c = 0 \Rightarrow c = 0$ alebo $c^2 - c - 2 = 0 \Rightarrow c = \frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2} = \frac{1\pm 3}{2}$, teda $h(M) \leq 2$ pre $c \in \{-1, 0, 2\}$. Pre ostatné hodnoty $c$ je determinant nenulový, takže vtedy by matica mala byť regulárna a teda jej hodnosť rovná 3.

[Martin Sleziak]

Fajn, značím si 1 bod.