msleziak.com

10. prednáška (4.5.)
Súčty dvoch štvorcov. Ukázali sme si Fibonacciho identitu. Popísali sme, ktoré prvočísla sa dajú získať ako súčet dvoch štvorcov. Charakterizovali sme čísla, ktoré sa dajú napísať ako súčet dvoch druhých mocnín celých čísel.
Počet rozkladov na súčet dvoch štvorcov. Ukázali sme si, koľko je rozkladov daného čísla na súčet 2 štvorcov. Pri tom sme využili, popis ireducibilných prvkov v okruhu $\mathbb Z [ i ]$, t.j. gaussovských prvočísel.

11. prednáška (11.5.)
Súčty štyroch štvorcov. Ukázali sme si Eulerovu identitu. Pri tom sme si povedali niečo o maticovej reprezentácii kvaterniónov. (Pripomenul som aj podobnú reprezentáciu pre komplexné čísla: viewtopic.php?t=571)
Dokázali sme, že každé prirodzené číslo sa dá zapísať ako súčet 4 štvorcov celých čísel. (Lagrangeova veta.)
Mriežky. Zadefinovali sme mriežku a fundamentálnu oblasť. Ukázali sme, že objem fundamentálnej oblasti nezávisí od voľby bázy, iba od mriežky.

12. prednáška (18.5.)
Minkowského veta a súčty štvorcov. Dokázali sme Minkowského vetu. Pomocou Minkowského vety sme dokázali výsledky o vyjadriteľnosti prvočísel v tvare súčtu dvoch resp. štyroch štvorcov.
Objem $n$-rozmernej gule. Ešte sme potom zrátali čomu sa rovná objem gule v $\mathbb R^n$ (keďže v predošlom dôkaze sme to potrebovali pre štvorrozmernú guľu). Snažil som sa pritom vysvetliť niečo o substitúcii v integráloch viac premenných, najmä pre polárne súradnice. Možno intuícii súvisiacej s týmto môžu pomôcť aj linky, ktoré sú tu: viewtopic.php?f=20&t=266