10. prednáška (8.12.):
Möbiova inverzia. Möbiova funkcia, Möbiova inverzia.
Kvadratické kongruencie. Definícia kvadratických zvyškov a nezvyškov. Legendrov symbol. Eulerovo kritérium.
Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $4k+1$. Ako som spomínal, Dirichletova veta nám dáva tento výsledok pre veľa aritmetických postupností - dôkaz však nie je jednoduchý. Pre niektoré postupnosti to vieme dokázať vcelku elementárne: viewtopic.php?t=794
Prednášky ZS 2017/18
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2017/18
11. prednáška (15.12.):
Legendrov symbol. Gaussova lema. Vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.)
Legendrov symbol. Gaussova lema. Vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2017/18
12.prednáška (22.12):
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol, ukázali sme jeho vlastnosti, vrátane zákona kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.
Na konci some ešte stručne stihol povedať niečo o tom ako pre nepárne číslo viem povedať, či to je kvadratický zvyšok modulo $p^n$. (Z čoho by som to potom vedel urobiť modulo ľubovoľné číslo ak poznám jeho kanonický rozklad - na základe čínskej zvyškovej vety.)
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol, ukázali sme jeho vlastnosti, vrátane zákona kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.
Na konci some ešte stručne stihol povedať niečo o tom ako pre nepárne číslo viem povedať, či to je kvadratický zvyšok modulo $p^n$. (Z čoho by som to potom vedel urobiť modulo ľubovoľné číslo ak poznám jeho kanonický rozklad - na základe čínskej zvyškovej vety.)