Úlohy ZS 2018/19

[Martin Sleziak]

Úloha 6.1. Zistite, či dané vektory tvoria bázu v priestore $\mathbb Z_5^3$:
a) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,3)$
b) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$
c) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$, $(1,3,1)$
d) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$

Úloha 6.2. Ukážte, že polynómy stupňa najviac 3 tvoria podpriestor priestoru všetkých funkcií z $\mathbb R$ do $\mathbb R$. Tvoria polynómy $1+x$, $x+x^2$, $x^3-1$, $x^3+x$ bázu tohoto priestoru?

Úloha 6.3. Ak sa to dá, doplňte vektory $(1,3,1,0)$, $(2,1,3,1)$ na bázu priestoru $\mathbb Z_5^4$. (Poznámka: Neskôr sa naučíme úlohy takéhoto typu riešiť jednoduchšie, ale táto úloha je riešiteľná už aj pomocou tých vecí, ktoré sme sa učili doteraz.)

Úloha 6.4. Overte, že $M=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4; x+y+z+w=0, x-y+z-w=0\}$ tvorí podpriestor priestoru $\mathbb R^4$. Nájdite nejakú bázu tohoto podpriestoru.

Úloha 6.5. Ako $P_n$ označíme množinu všetkých reálnych polynómov stupňa najviac $n$, t.j. množinu všetkých funkcií tvaru $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$, kde $a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb R$.
a) Zdôvodnite, že $P_n$ je podpriestor priestoru všetkých funkcií z $\mathbb R$ do $\mathbb R$.
b) Aká je dimenzia priestoru $P_n$?
c) Dá sa výsledok z časti b) použiť nejako na zdôvodnenie toho, že priestor všetkých funkcií $\mathbb R\to\mathbb R$ nie je konečnorozmerný?

[Martin Sleziak]

Úloha 7.1. Ukážte, že množina symetrických matíc typu $n\times n$ nad poľom $F$ tvorí podpriestor vektorového priestoru $M_{n,n}(F)$.

Úloha 7.2. Zistite, aká je hodnosť danej matice v~závislosti od parametra $c\in\mathbb R$:
a) $\begin{pmatrix}2&c+1&0\\2&c+1&2+2c\\c&-c&-c\end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix}2c+1&c&-c-1\\1&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$

Úloha 7.3. Zistite, či nasledujúce matice tvoria bázu vektorového priestoru všetkých matíc
typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb R$:
$\left(\begin{smallmatrix}
1 & 2 \\
0 & 4
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
2 & 3 \\
5 & 0
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
3 & 0 \\
1 & 2
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
0 & 5 \\
4 & 2
\end{smallmatrix}\right)$

Úloha 7.4. Ak je to možné, doplňte zadané vektory na bázu priestoru $(\mathbb Z_7)^4$. Uveďte aj stručné zdôvodnenie, prečo práve s vektormi, ktoré dostanete ako výsledok, tvoria zadané vektory bázu.
a) $(1,2,1,0)$, $(1,2,3,3)$, $(2,1,2,3)$
b) $(1,2,5,3)$, $(3,1,5,4)$, $(3,4,4,0)$

Úloha 7.5. Ak máme zadané podpriestory
\begin{align*}
W_1&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y-z=0\},\\
W_2&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; 3x+y-2z=0\},\\
W_3&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-7y+3z=0\},
\end{align*}
nájdite $\dim(W_1\cap W_2\cap W_3)$ a $\dim(W_1+W_2)$, $\dim(W_1+W_3)$, $\dim(W_2+W_3)$.

Pri riešení tejto úlohy sa vám môže hodiť vedieť to, aký je vzťah medzi hodnosťou matice homogénnej lineárnej sústavy a dimenziou podpriestoru riešení - tento fakt ešte len na prednáške bude, ale pokojne ho môžete použiť ak sa vám bude hodiť. (Je to dôsledok 5.7.5 v súčasnej verzii poznámok k prednáške, hovorí vlastne to že podpriestor riešení má dimenziu $n-h(A)$, kde $n$ je počet neznámych.) Úloha sa dá vyriešiť aj pomocou toho, čo sme prebrali doteraz.

Úloha 7.6.*
Určite hodnosť matice:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
a_1 & a_2 & \ldots & a_n & a_{n+1} \\
a_1^2 & a_2^2 &\ldots & a_n^2 & a_{n+1}^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_1^n & a_2^n &\ldots & a_n^n & a_{n+1}^n
\end{pmatrix}
$$
ak viete, že $a_1, \ldots, a_{n+1}$ sú navzájom rôzne reálne čísla
(t.j. $a_i\neq a_j$ pre všetky $i\neq j$).

Pri riešení tejto úlohy môžete použiť fakt, že elementárne stĺpcové operácie nemenia hodnosť, resp. to, že $h(A)=h(A^T)$. (Tento fakt dokážeme neskôr.) Ale mala by sa dať vyriešiť aj bez použitia tejto veci.

[Martin Sleziak]

Úloha 8.1. Nech $V$ a $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ a $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie. Dokážte: Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ sú lineárne závislé vektory, tak aj $f(\vec\alpha_1), \ldots, f(\vec\alpha_n)$ sú lineárne závislé vektory.

Úloha 8.2. Nech $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte:
Ak $S$ je podpriestor priestoru $V$, tak $f[S]= \{f(\vec\alpha); \vec\alpha\in S\}$ je podpriestor priestoru $W$.
(Takto definovaná množina $f[S]$ sa nazýva obraz množiny $S$. Uvedené tvrdenie možno teda stručne sformulovať takto: Obraz podpriestoru je podpriestor.)
Čo dostaneme na základe tohoto výsledku pre $S=\{\vec0\}$? Čo dostaneme pre $S=V$?

Úloha 8.3. Nech $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte:
Ak $T$ je podpriestor priestoru $W$, tak $f^{-1}[T]= \{\vec\alpha\in V: f(\vec\alpha)\in T\}$ je podpriestor priestoru $V$.
(Množina $f^{-1}[T]$ definovaná uvedeným spôsobom sa nazýva vzor množiny $T$. Teda stručne môžeme povedať, že toto tvrdenie hovorí: Vzor podpriestoru je podpriestor.)
Čo dostaneme na základe tohoto výsledku pre $T=\{\vec0\}$? Čo dostaneme pre $T=W$?

Úloha 8.4. Dokážte (iba použitím definície lineárneho zobrazenia), že zobrazenie $f\colon V\to W$ (kde $V$, $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ je lineárne práve vtedy, keď pre ľubovoľné $c\in F$, $\vec\alpha,\vec\beta\in V$ platí $f(c\vec\alpha+\vec\beta)=cf(\vec\alpha)+f(\vec\beta)$

[Martin Sleziak]

Úloha 9.1. Nech $f\colon U\to V$, $g,h \colon V\to W$ sú lineárne zobrazenia. Súčet lineárnych zobrazení definujeme ako $(g+h)(\vec\alpha)=g(\vec\alpha)+h(\vec\alpha)$. Vcelku ľahko sa dá ukázať, že súčet lineárnych zobrazení je lineárne zobrazenie. Dokážte, že platí $(g+h)\circ f=g\circ f+h\circ f$. Čo tento výsledok hovorí o násobení matíc?

Úloha 9.2. $\newcommand{\Tra}{\operatorname{Tr}}$Pre štvorcovú maticu $C$ typu $n\times n$ budeme výraz $\Tra(C)=\sum_{k=1}^n c_{nn}$ nazývať stopa matice $C$. (T.j. stopa matice je súčet prvkov, ktoré sú na diagonále.)
Ukážte, že ak $A$, $B$ sú matice typu $n\times n$ nad poľom $F$, tak platia rovnosti $\Tra(A)=\Tra(A)^T$ a $\Tra(AB)=\Tra(BA)$.

Úloha 9.3. Nech $C=AB$, kde $A$, $B$ sú matice. Musí potom platiť $V_C\subseteq V_A$? Musí platiť $V_C\subseteq V_B$? Musí platiť $V_A\subseteq V_C$, $V_B\subseteq V_C$? (Svoje tvrdenie zdôvodnite, t.j. dokážte, alebo nájdite kontrapríklad.)

Úloha 9.4. Nech $A$, $B$ sú matice nad poľom $F$ typu $m\times n$ resp. $n\times k$. Dokážte, že $h(AB)\leq h(A)$. Dokážte, že ak $n=k$ a $B$ je regulárna, tak $h(AB)=h(A)$.

Úloha 9.5. Nájdite maticu zobrazenia $f\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^4$, ktoré spĺňa dané podmienky (alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje):
$f(1,2,3)=(-2,3,1,3)$, $f(-3,1,-2)=(-1,-2,-10,-2)$, $f(1,1,2)=(-1,2,2,2)$ a $f$ je injektívne.

Úloha 9.6. Nájdite maticu zobrazenia $f\colon \mathbb R^4\to\mathbb R^3$, ktoré spĺňa dané podmienky (alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje):
$f(1,2,3,-4)=(2,5,0)$, $f(3,1,4,1)=(0,1,3)$, $f(1,2,3,-4)=(2,5,0)$ a $f$ je surjektívne.

Úloha 9.7.
a) Nech $A$, $B$ sú matice (nad tým istým poľom) takých rozmerov, že sa dajú násobiť. Dokážte, že $(AB)^T=B^TA^T$.
b) Dokážte: Ak $A$ je symetrická matica, tak aj $A^n$ je symetrická matica pre každé $n\in\mathbb N$.

Úloha 9.7. Nech $V$ označuje reálne čísla chápané ako vektorový priestor nad $\mathbb Q$. Ukážte, že tento priestor nie je konečnorozmerný. (Hint 1: Ak $V$ je konečnorozmerný vektorový priestor nad $\mathbb Q$, viete povedať niečo o jeho kardinalite? Hint 2: Možno by vám mohlo pomôcť niečo podobné ako ste videli v jednej z bonusových úloh na druhej písomke. Hint 3: Ak viete vymyslieť iné riešenie od tých dvoch, ku ktorým smerujú predošlé dva hinty, tak sa nimi nedajte popliesť.)

[Martin Sleziak]

Úloha 10.1. Nájdite homogénnu sústavu rovníc nad $\mathbb R$, ktorej množina riešení je podpriestor $S=[(1,1,1,-1),(2,3,-1,-6),(3,4,0,-7)]$ priestoru $\mathbb R^4$.

Úloha 10.2. Nájdite homogénnu sústavu rovníc nad $\mathbb R$, ktorej množina riešení je podpriestor $S=[(1,-1,-1,-1),(4,1,-1,0),(-2,1,2,3)]$ priestoru $\mathbb R^4$.

Úloha 10.3. Koľko existuje lineárnych zobrazení $f\colon\mathbb Z_5^3\to\mathbb Z_5^4$ takých, že $f(1,1,2)=(3,1,1,4)$, $f(1,3,4)=(0,1,1,1)$ a $f(2,1,3)=(0,2,2,2)$? Koľko z nich je injektívnych? Koľko z nich je surjektívnych?

Úloha 10.4. Koľko existuje lineárnych zobrazení $f\colon\mathbb Z_5^4\to\mathbb Z_5^3$ takých, že $f(1,1,3,1)=(1,4,1,2)$, $f(1,2,0,1)=(1,0,2,3)$, $f(2,3,3,2)=(2,4,3,0)$? Koľko z nich je injektívnych? Koľko z nich je surjektívnych?

Úloha 10.5.
Definujme lineárne zobrazenie $f \colon \mathbb R^4 \to \mathbb R^2$ ako $f(x_1, x_2, x_3, x_4) = (3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4, 2x_1 + 4x_2 + x_3 - x_4)$ a označme $U_1=\operatorname{Ker} f$.

Ďalej definujme lineárne zobrazenie $g \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^4$ ako $g(y_1, y_2) = (y_1 - y_2, y_1 - 3y_2, 2y_1 - 8y_2, 3y_1 - 27y_2)$ a označme $U_2=\operatorname{Im} g$.

Vidíme, že $U_1$ aj $U_2$ sú podpriestory $\mathbb R^4$.

Nájdite bázy priestorov $U_1$, $U_2$, $U_1 \cap U_2$ a $U_1 + U_2$.

[Martin Sleziak]

Úloha 11.1.*
$
\begin{vmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & \ldots & a_1^n \\
1 & a_2 & a_2^2 & \ldots & a_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_n & a_n^2 & \ldots & a_n^n \\
1 & a_{n+1} & a_{n+1}^2 & \ldots & a_{n+1}^n
\end{vmatrix}=?
$
(Výsledok by mal byť $\prod\limits_{1\le i<j\le n+1} (a_j-a_i)$, t.j. súčin výrazov tvaru $a_j-a_i$ pre všetky $i<j$.)

Úloha 11.2. Vypočítajte determinant matice
$\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{vmatrix}$
Viete na základe výsledku povedať niečo o hodnosti tejto matice aspoň pre niektoré hodnoty parametra $c\in\mathbb R$?

Úloha 11.3.
$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
1 & 2 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & 3 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \ldots & 1 & n
\end{vmatrix}
=?$

Úloha 11.4.
$D_n=
\begin{vmatrix}
n & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & n & 1 & \ldots & 1 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
1 & \ldots & 1 & 1 & n
\end{vmatrix}
=?$

[Martin Sleziak]

Dohodli sme sa, že úlohy na fóre sa dajú za body riešiť do konca prvého týždňa skúškového. Potom už odkryjem aj staršie riešenia z minulých rokov - takže vtedy by už tieto úlohy mohli skôr slúžiť na to, aby ste si niekde mohli pozrieť vyriešené príklady. (A už nie ako možnosť získania bodov.)

EDIT: Teraz už sú staršie úlohy odkryté - snáď vám trochu úlohy vyriešené na fóre (a aj komentáre k d.ú.) pomôžu pri príprave na skúšku - v podstate ako príklady preriešených úloh.

[Martin Sleziak]

Body za úlohy na fóre:
5 E. Herencsárová
5 M. Dlugošová
5 F. Jurčák
4 R. Bíró
4 D. Harmanová
4 M. Sládek
2 T. Janeta
1.5 M. Ferech
(Ak by som niekomu zabudol zarátať nejaké úlohy, ozvite sa mi mailom. Zanedlho zaktualizujem body za úlohy na stránke a aj v AISe.)