msleziak.com

11. cvičenie (11.12): písomka

12. cvičenie (18.12.)
Na začiatku sme sa pozreli na riešenie bonusovej úlohy z písomky: viewtopic.php?t=1375
Súčin matíc. Pozreli sme sa na úlohy 5.4.2 a 5.4.3. (Pri druhej z nich sme si povedali niečo o súvise medzi súčinom matíc a elementárnymi riadkovými/stĺpcovými operáciami. Povedali sme si aj niečo o tom, že na súčin matíc sa dá pozerať ako na to, že robím niečo s riadkami matice; ak násobím $AB$, tak vlastne robím lineárne kombinácie riadkov z $B$ a koeficienty si prečítam z matice $A$.)
Matica zobrazenia, inverzná matica. Povedali sme si niečo o výpočte matice zobrazenia. (Úloha 5.3.1 je vyriešená v poznámkach k prednáške.)
Pozreli sme sa na výpočet inverznej matice (čo je vlastne výpočet matice inverzného zobrazenia). Vyrátali sme jednu inverznú maticu z úlohy 5.5.1.Pri výpočte inverznej matice sme si ukázali, že tu sa dá urobiť skúška správnosti aj uprostred výpočtu: viewtopic.php?t=531
Ešte sme sa pozreli aj ako sa dá na postup pri výpočte inverznej matice pozrieť vďaka tomu, že už vieme o vzťahu medzi elementárnymi riadkovými operáciami a násobením maticou prislúchajúcou danej operácii zľava - v podstate sme si povedali zhruba to, čo je v poznámka 5.6.6 v poznámkach k prednáške.

Konzultácie k determinantom - 4.1.: viewtopic.php?t=1372
(Toto už nebolo na cvičeniach, ale aj tak stručne napíšem čo sme robili.)
Povedali sme si niečo o geometrickom význame determinantu. Povedal som vzorce pre determinant $2\times2$ a $3\times3$. Na jednoduchom príklade sme si ukázali veci ktoré sa dajú použiť pri výpočte determinantov vyšších rozmerov - Laplaceov rozvoj a riadkové úpravy.
Ukázali sme si dva príklady takého typu, kde bolo treba vyjadriť determinant rozmerov $n\times n$ v závislosti od $n$. Konkrétne:
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 1 & 2
\end{vmatrix}
\qquad\text{a}\qquad
\begin{vmatrix}
x & a & a & \ldots & a \\
a & x & a & \ldots & a \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
a & \ldots & a & x & a \\
a & \ldots & a & a & x
\end{vmatrix}.
$$
Ak pre štvorcové matice $AB$ je ich súčin regulárna matica, tak obe matice $A$ aj $B$ sú regulárne. (Ukázali sme si dôkaz pomocou determinantov a stručne sme naznačili ako by sa to dalo zdôvodniť inými spôsobmi.)