Prednášky ZS 2018/2019

[jaroslav.gurican]

Prednáška č. 12 ( 20. 12. 2018)

Dokončili sme veci o lineárnych zobrazeniach, hlavne charakterizáciu/kritérium injektívnosti lineárneho zobrazenia, jej dôsledky, pojem izomorfizmu vektorových priestorov, súvis izomorfizmov, regulárnych matíc, existencie inverzných matíc.

Ďalej sa táto prednáška sa týkala riešení sústav (systémov) lineárnych rovníc nad nejakým poľom.
Homogénna a nehomogénna sústava.
Matica sústavy a rozšírená marica sústavy. Maticový zápis sústavy rovníc.
ERO na rozšírenej matici sústavy nemenia množinu riešení prislúchajúcich sústav.
Množina riešení homogénnej sústavy o $n$ neznámych je podpriestor v.p. $F^n$ (okrem iného to znamená, že homogénna sústava má vždy aspoň jedno riešenie).
Popísali sme bázu množiny riešení homogénnej sústavy - viď postup za vetou 5.7.3, dôkaz, že tieto vektory skutočne tvoria bázu je vo vete 5.7.4 (podrobný dôkaz sme nerobili, ale na prednáške sme ukázali postup, ktorým sa k uvedeným vektorom dá dostať, z ktorého bolo viac menej priamo vidieť, že sa naozaj jedná o bázu).
Ukázali sme (na príklade, ale postup je univerzálny), že každý podpriestor $S$ v.p. $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy lin. rovníc o $n$ neznámych - veta 5.7.11. Ukázali sme, ako sa pre podpriestor $S\subseteq F^n$ zadaný generujúcimi vektormi hľadá takáto sústava homogénnych rovníc, postup bol v podstate rovnaký, ako je v dôkaze vety 5.7.11 - toto je potrebné vedieť, je to jedna z obľúbených tém a ukazuje, nakoľko tomu rozumiete.

Pri nehomogénych sústavach sme uviedli, že nemusí mať riečenie. Kritérium existencie riešenia poskytuje Frobeniova veta (veta 5.7.16).
Množina riešení nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc nikdy nie je podpriestor (lebo nulový vektor nie je riešením).
Veta o tvare množiny riešení pre nehomogénnu sústavu rovníc (veta 5.7.17, tiež bola bez dôkazu). Spojením vety 5.7.17 a postupu z vety 5.7.11 sa pre množiny tvaru $T=\vec{\alpha\,}+S=\{\vec{\alpha\,}+\vec{\beta\,};\ \vec{\beta\,} \in S\}$ viď dá nájsť sústava (ak $\alpha\notin S$ nehomogénna, inak homogénna), ktorá má $T$ ako svoju množinu riešení.