msleziak.com

10. prednáška (2.5.)
Súčty dvoch štvorcov. Charakterizovali sme čísla, ktoré sa dajú napísať ako súčet dvoch druhých mocnín celých čísel.
Počet rozkladov na súčet dvoch štvorcov. Ukázali sme si, koľko je rozkladov daného čísla na súčet 2 štvorcov. Pri tom sme využili, popis ireducibilných prvkov v okruhu $\mathbb Z [ i ]$, t.j. gaussovských prvočísel.
Súčty štyroch štvorcov. Ukázali sme si Eulerovu identitu. Pri tom sme si povedali niečo o maticovej reprezentácii kvaterniónov. (Pripomenul som aj podobnú reprezentáciu pre komplexné čísla: viewtopic.php?t=571)

11. prednáška (9.5.)
Súčty štyroch štvorcov. Dokázali sme, že každé prirodzené číslo sa dá zapísať ako súčet 4 štvorcov celých čísel. (Lagrangeova veta.)
Mriežky. Zadefinovali sme mriežku a fundamentálnu oblasť. Dokázali sme že ľubovoľné dve fundamentálne oblasti tej istej mriežky majú rovnaký objem. Sformuloval som Minkowského vetu - dôkaz zostal už nabudúce.

12. prednáška (16.5.)
Minkowského veta a súčty štvorcov. Dokázali sme Minkowského vetu. Pomocou Minkowského vety sme dokázali výsledky o vyjadriteľnosti prvočísel v tvare súčtu dvoch resp. štyroch štvorcov.

V dôkaze o štyroch štvorcoch sme používali objem 4-rozmernej gule. Nejaké odvodenie čomu sa rovná sa dá nájsť v poznámkach k prednáške. Pridám aj linku na článok na Wikipédii: Volume of an n-ball.