Re: Videá s prednáškami
Posted: Thu Nov 12, 2020 8:39 pm
Konvergencia postupností$\newcommand{\R}{\mathbb R}$
Limita postupnosti. Definícia limity postupnosti, príklady, jednoznačnosť v hausdorffovských priestoroch. (A nejaké poznámky k označeniu súvisiace s tým, že postupnosť môže mať vo všeobecnosti viac než jednu limitu.)
Postupnosti a uzavretosť. Limita postupnosti prvkov z $A$ patrí do $\overline A$, uzavretá množina je sekvenciálne uzavretá. V priestoroch s prvou axiómou spočítateľnosti platí obrátená implikácia v oboch týchto tvrdeniach. (A neskôr sa dostaneme k tomu, že pre ak postupnosti nahradíme sieťami, tak už budeme mať ekvivalenciu v ľubovoľnom topologickom priestore.)
Spomenuli sme, že tieto podmienky vlastne popisujú Fréchetove-Urysohnove a sekvenciálne priestory - aj keď my sa týmito triedami priestorov nebudeme zaoberať.
Postupnosti a priestor $C(\omega)$. Konvergencia postupnosti je to isté, ako spojitosť $\overline x\colon C(\omega) \to X$.
Spojitosť a sekvenciálna spojitosť. Spojité zobrazenie je sekvenciálne spojité, obrátená implikácia platí v priestoroch spĺňajúcich prvú axiómu spočítateľnosti.
Hromadné body a podpostupnosti. Len sme ich zadefinovali a bez dôkazu spomenuli ako súvisia.
Kontrapríklady. Ukázali sme, že vo všeobecnosti neplatia tvrdenia, ktoré sme dostali pre priestory vyhovujúce prvej axióme spočítateľnosti.
Jeden taký kontrapríklad je $\{0,1\}^{\R}$ (Cantorova kocka)
Iný kontrapríklad môžeme dostať pre topológiu odvodenú od usporiadania na $\omega_1+1$, kde $\omega_1$ označuje prvý nespočítateľný ordinál. (Tento kontrapríklad vyžaduje vedieť nejaké základné veci o dobre usporiadaných množinách - a dá sa v princípe bez problémov aj preskočiť.)
Slajdy a tabuľa: 06konver01post.pdf a 06konver01post.zip
Video: 06konver01post01.mkv a 06konver01post01.mp4
Kontrapríklad s $\{0,1\}^{\R}$: 06konver01post02.mkv a 06konver01post02.mp4
Kontrapríklad s $\omega_1+1$: 06konver01post03.mkv a 06konver01post03.mp4
Limita postupnosti. Definícia limity postupnosti, príklady, jednoznačnosť v hausdorffovských priestoroch. (A nejaké poznámky k označeniu súvisiace s tým, že postupnosť môže mať vo všeobecnosti viac než jednu limitu.)
Postupnosti a uzavretosť. Limita postupnosti prvkov z $A$ patrí do $\overline A$, uzavretá množina je sekvenciálne uzavretá. V priestoroch s prvou axiómou spočítateľnosti platí obrátená implikácia v oboch týchto tvrdeniach. (A neskôr sa dostaneme k tomu, že pre ak postupnosti nahradíme sieťami, tak už budeme mať ekvivalenciu v ľubovoľnom topologickom priestore.)
Spomenuli sme, že tieto podmienky vlastne popisujú Fréchetove-Urysohnove a sekvenciálne priestory - aj keď my sa týmito triedami priestorov nebudeme zaoberať.
Postupnosti a priestor $C(\omega)$. Konvergencia postupnosti je to isté, ako spojitosť $\overline x\colon C(\omega) \to X$.
Spojitosť a sekvenciálna spojitosť. Spojité zobrazenie je sekvenciálne spojité, obrátená implikácia platí v priestoroch spĺňajúcich prvú axiómu spočítateľnosti.
Hromadné body a podpostupnosti. Len sme ich zadefinovali a bez dôkazu spomenuli ako súvisia.
Kontrapríklady. Ukázali sme, že vo všeobecnosti neplatia tvrdenia, ktoré sme dostali pre priestory vyhovujúce prvej axióme spočítateľnosti.
Jeden taký kontrapríklad je $\{0,1\}^{\R}$ (Cantorova kocka)
Iný kontrapríklad môžeme dostať pre topológiu odvodenú od usporiadania na $\omega_1+1$, kde $\omega_1$ označuje prvý nespočítateľný ordinál. (Tento kontrapríklad vyžaduje vedieť nejaké základné veci o dobre usporiadaných množinách - a dá sa v princípe bez problémov aj preskočiť.)
Slajdy a tabuľa: 06konver01post.pdf a 06konver01post.zip
Video: 06konver01post01.mkv a 06konver01post01.mp4
Kontrapríklad s $\{0,1\}^{\R}$: 06konver01post02.mkv a 06konver01post02.mp4
Kontrapríklad s $\omega_1+1$: 06konver01post03.mkv a 06konver01post03.mp4