Prednášky LS 2020/21

[Martin Sleziak]

11. týždeň (26.4.)
Jordanov tvar. Pozreli sme sa na to, čo nám hodnosti mocnín matice $(A-\lambda I)$ vedia povedať o počte Jordanových blokov rôznych veľkostí (prislúchajúcich k vlastnému číslu $\lambda$). http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1688
Videli sme aj ako vyzerajú mocniny Jordanovho tvaru. (Uvedomili sme si aj to, že ak $AB=BA$, tak sa $(A+B)^k$ dá vyjadriť pomocou binomickej vety.)
Prepočítali sme ešte nejaký príklad na Jordanov tvar. (A našli sme aj maticu prechodu resp. zodpovedajúcu bázu.)
Vrátili sme sa k tomu, ako sa dá vypočítať determinant blokovej matice, ak nad/pod diagonálou sú nulové bloky: viewtopic.php?t=918
Lineárne rekurencie.
Spomenul som príklad s jednoduchou sústavou dvoch lineárnych rekurencií ako typ úlohy, kde sa veľmi prirodzene nejako objavia vlastné čísla a vlastné vektory: viewtopic.php?t=639
Jordanov tvar a riešenia lineárnych rekurencií. (Ukázali sme si aj "prvácky" prístup - bez využitia Jordanovho tvaru.) Detailne sme to prešli pre rekurencie druhého rádu, ale spomenuli sme si aj to, ako to vyjde všeobecne.
Fibonacciho postupnosť. Ukázali sme si maticové odvodenie niektorých vlastností Fibonacciho postupnosti: viewtopic.php?t=640

[Martin Sleziak]

12. prednáška (3.5.):
Symetrické polynómy.
Základná veta o symetrických polynómoch.
Ukázali sme si dva spôsoby výpočtu ako pre daný symetrický polynóm nájsť jeho vyjadrenie pomocou základných symetrických polynómov - urobili sme to algoritmom z dôkazu a metódou neurčitých koeficientov. (Konkrétne úlohu 4.1.1e, t.j. polynóm $x_1^3+x_2^3+x_3^3$.) Popritom sme si povedali aj niečo o homogénnych polynómoch.
Vietove vzťahy (vzťah medzi koreňmi a koeficientami polynómu).

[Martin Sleziak]

Pozreli sme sa na príklad typu typu: Pre danú reálnu symetrickú maticu nájsť regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=PAP^T= D$.

Keďže niečo takéto mám aj tu aj na inom predmete, pridal som video, kde je prepočítaných viacero takýchto príkladov.
Ak by sa vám zdalo užitočné, tu je naň linka: viewtopic.php?p=5384#p5384