msleziak.com

21.4 - dekanské voľno (ŠVK)

10. prednáška (28.4.)
Kardinálna aritmetika. Ukázali sme, že pre nekonečné kardinály platí $\kappa\cdot\kappa=\kappa$. (T.j. pre každú nekonečnú množinu platí $|A\times A|=|A|$.)
Pritom sme spomenuli, že existuje viacero spôsobov, ako sa dá definovať nekonečná množina, pričom v ZF nie sú nutne ekvivalentné. Wikipédia: Dedekind-infinite set a Finite set § Set-theoretic definitions of finiteness
Definícia ordinálov v ZFC. Stručne sme spomenuli, že ordinály sa dajú definovať aj v ZFC - najčastejšia je von Neumannova definícia ordinálov: viewtopic.php?t=1175
Spomenuli sme, že ak chceme pracovať v axiomatickom systéme ako ZFC, tak veci môžu vyzerať o čosi komplikovanejšia, ako keď ich formulujeme v prirodzenom jazyku - ako príklad sme spomenuli definíciu usporiadanej dvojice.

Potom sme ešte stručne prešli čo sú veci, ktorými by sme sa mohli zaoberať vo zvyšku semestra.

11. prednáška (5.5.)
Skoro disjunktné systémy.
Definícia AD-sytému a MAD-systému. Každý AD-systém je obsiahnutý v MAD-systéme (dôkaz sme preskočili). MAD-systém nemôže byť spočítateľný.
Ukázali sme pomocou postupností racionálnych čísel, že na spočítateľnej množine existuje AD-systém kardinality $\mathfrak c$. Niečo k iným možnostiam dôkazu sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=788
Hamelova báza. Definícia bázy v nekonečnorozmerných priestorov. (Vo vektorovom priestore pracujeme iba s konečnými lineárnymi kombináciami - na rozdiel od Schauderovej bázy, ktorá sa dá definovať ak máme k dispozícii aj konvergenciu.)
Spomenuli sme základné fakty (bez dôkazu): Každá lineárne nezávislá množina je obsiahnutá v nejakej báze. Ľubovoľné dve bázy majú rovnakú kardinalitu.
Ako príklad sme si ukázali, že $\dim(c_{00})=\aleph_0$. Bez dôkazu sme spomenuli $\dim(\mathbb R^{\mathbb N})=\mathbb c$. (Toto je ako cvičenie v texte k prednáške, kde sú k tomu aj nejaké hinty. Jeden z možných dôkazov využíva skoro disjunktné systémy.)
Dimenzia Banachových priestorov.
Nestihol som spraviť to, ako sa pomocou Baireovej vety o kategórii dá ukázať, že Hamelova dimenzia BP musí byť nespočítateľná. Dôkaz sa dá pozrieť napríklad tu: Let $X$ be an infinite dimensional Banach space. Prove that every Hamel basis of X is uncountable.. (Každopádne BCT je dôležité tvrdenie, ktoré má aj ďalšie aplikácie - niektoré sú spomenuté tu: viewtopic.php?t=856 Takže takéto niečo je asi celkom užitočné cvičenie.)
Ukázali sme však (pomocou AD systémov), že dimezia určite bude aspoň $\mathfrak c$, pozri aj linky tu: viewtopic.php?t=800

12. prednáška (12.5.)
Kőnigova lema
Sformulovali sme základné pojmy týkajúce sa nekonečných stromov. Dokázali sme Kőnigovu lema. (Chvíľu sme potom rozprávali aj o tom, že Kőnigova lema sa nedá dokázať v ZF. Náš dôkaz využíval axiómu výberu - v indukčnom kroku sme vyberali nejaký prvok, takže máme nekonečne veľa výberov.)
Pomocou Kőnigovej lemy sme dokázali nekonečnú verziu Ramseyovej vety. (Dôkaz, že z nej vyplýva konečná verzia sme preskočili - v texte s poznámkami je tento dôkaz nedokončený, spomeniem, že sa dá nájsť ako Corollary 2.3 v Halbeisen: Combinatorial Set Theory.