msleziak.com

Prednáška č. 10 (22. 4. 2021)

Veta o substitúcii pre okruh polynómov. Teória deliteľnosti. asociovanosť, delitele jednotky. Hlavné ideály v komutatívnych okruhoch s 1. Euklidovské okruhy, okruhy hlavných ideálov (OHI).
Netriviálne prvoideály v OHI sú maximálne ideály. Euklidovský okruh je OHI.

Prednáška č. 11 (29. 4. 2021)

Príklad oboru integrity, ktorý nie je OHI - $(Z[x],+,\cdot)$. Deliteľnosť v OHI. Ideál v kom. okruhu s 1 generovaný nejakou množinou, generovaný dvoma prvkami, ako to vyzerá v OHI. Najväčší spoločný deliteľ prvkov v okruhu - $\gcd(a,b)$. V OHI $R$ existuje $\gcd(a,b)$ pre ľubovoľné dva prvky $a,b \in R$. Euklidov algoritmus na počítanie $\gcd(a,b)$ v Euklidovskom okruhu (aj s nájdením $s,t\in R$ takých, že $\gcd)a,b)=as+bt$) - to bolo čiastočne na DÚ.
Gaussove okruhy. Ireducibilné prvky. Definícia gaussovského ideálu. Ideál generovaný ireducibilným prvkom v OHI je prvoideál, Vlastný ideál tvaru $(p)$ v obore integrity (pre $p\ne 0$), ktorý je prvodieál je generovaný ireducibilným prvkom $(p)$. Implikácia
$$p| ab \Rightarrow (p | a \vee p | b)$$ pre ireducibilný prvok $p$ v OHI.
Lema o "zastavení" postupnosti "rastúcej" postupnosti ideálov (ACC).
Okruh hlavných ideálov je gaussovský okruh.

Prednáška č. 12 (7. 6. 2021)

Počítanie $\gcd(a,b)$ v Gaussovskom okruhu. Gaussova veta o "prenose" gaussovskosti z okruhu $R$ na okruh polynómov $R[x]$ (bez dôkazu).
Charakteristika poľa (okruhu s jednotkou). Charakteristika poľa je buď prvočíslo alebo $\infty$. Podokruhy generované jednotkou ($[1]$) - v poliach sú izomorfné buď s $(Z_p,\oplus, \otimes)$ alebo s $(Z,+,\cdot)$).
Konečné rošírenia polí. Minimálny polynóm algebraického prvku, jeho ireducibilita.

Prednáška č. 13 (13. 5. 2021)

Izomorfizmus $F[\alpha]\cong F[x]/(p(x))$ pre koreň $\alpha$ ireducibilného polynómu $p(x)\in F[x]$. Pole $F[x]/(p(x))$ má ako vektorový priestor nad $F$ bázu $1, u, u^2,\dots,u^{n-1}$ (pre ireducibilný polynóm $p(x)$, ak sme označili $n=st(p(x))$ a $u=x+(p(x))$). Iná interpretácia je, že $F[x]/(p(x))\cong (M,+,\odot)$, kde pre $n=st(p(x))$ je $M=\{1,x,\dots,x^{n-1}\}$, $+$ je normálne sčítanie polynómov a pre $f,g\in M$ je $f\odot g= f\cdot g \mod p(x)$, t.j. zvyšok pri $f\cdot g$ delení polynómom $p(x)$ - ten zvyšok má stupeň menší ako $n$ a teda je to prvok $M$. Ireducibilný polynóm $p(x)$ (ireducibilný v okruhu $F[x]$) má v poli $F[x]/(p(x))$ svoj koreň. Algebraicky uzavreté polia. Steinitzova veta (pre každé pole $F$ existuje jeho algebraický uzavreté rozšířenie) - bez dôkazu. Základná veta algebry (pole $C$ komplexných čísiel je algebraicky uzavreté) - bez dôkazu.

Každý prvok konečného rozšírenia $K$ poľa $F$ je algebraický nad $F$. Ak $F\subseteq L\subseteq K$ je postupnosť rozšírení polí taká, že $K$ je konečné rozšírenie $L$ a $L$ je konečné rozšírenie $F$, tak $K$ je konečné rozšírenie $F$ a platí $[K:F]=[K:L]\cdot[L:F]$. Algebraické rozšírenie poľa, jednoduché a viacnásobné algebraické rozšírenie poľa. Jednoduché algebraické rozšírenie poľa je jeho konečné rošírenie. Viacnásobné algebraické rozšírenie poľa je jeho konečné rošírenie. Konečné rozšírenie poľa je jeho viacnásobné algebraické rozšírenie.

Riešenie antických problémov (duplita kocky, trisekcia uhla, kvadratúra kruhu - čísla $\sqrt[3]{2}$, $\tan(10^\circ)$, $\sqrt{\pi}$ nepatria do žiadneho rozšírenia $F$ poľa $Q$ takého, ze [F:Q] je v tvare $2^n$, lebo $[Q[\sqrt[3]{2}]:Q]=3$, $[Q[\tan(10^\circ)]:Q]=3$ a $\sqrt{\pi}$ je dokonca transcendentné nad $Q$) - toto bolo len veľmi "informatívne" a neformálne.

Pre každé prvočíslo $p$ a prirodzené číslo $n\ge 1$ existuje pole $F$, ktoré má $p^n$ prvkov a takéto pole je až na izomorfimus určené jednoznačne (kedže vieme, že konečné pole charakteristiky $p$ má počet prvkov v tvare $p^n$, dostávame tak úplnú charakterizáciu konečných polí) - bez dôkazu.

(vynechali sme pojem a vlastnosti rozkladového poľa polynómu, ktorý je použitý v dôkaze).

Informácia o skúške nájdete na mojej stránke