Prednášky LS 2021/22 - teória čísel

[Martin Sleziak]

10. prednáška (25.4.)
Súčty dvoch štvorcov. Charakterizovali sme čísla, ktoré sa dajú napísať ako súčet dvoch druhých mocnín celých čísel.
Počet rozkladov na súčet dvoch štvorcov. Ukázali sme si, koľko je rozkladov daného čísla na súčet 2 štvorcov. Pri tom sme využili, popis ireducibilných prvkov v okruhu $\mathbb Z [ i ]$, t.j. gaussovských prvočísel.

[Martin Sleziak]

11. prednáška (2.5.)
Súčty štyroch štvorcov. Ukázali sme si Eulerovu identitu. Pri tom sme si povedali niečo o maticovej reprezentácii kvaterniónov. (Pripomenul som aj podobnú reprezentáciu pre komplexné čísla: viewtopic.php?t=571)
Dokázali sme, že každé prirodzené číslo sa dá zapísať ako súčet 4 štvorcov celých čísel. (Lagrangeova veta.)
Mriežky. Pripomenul som pojem mriežky a fundamentálnej oblasti. Takisto sme pripomenuli fakt, že ľubovoľné dve fundamentálne oblasti tej istej mriežky majú rovnaký objem.
Sformulovali sme Minkowského vetu - tú sme nedokazovali.
Minkowského veta a súčty štvorcov. Pomocou Minkowského vety sme dokázali výsledky o vyjadriteľnosti prvočísel v tvare súčtu dvoch resp. štyroch štvorcov.

V dôkaze o štyroch štvorcoch sme používali objem 4-rozmernej gule. Nejaké odvodenie čomu sa rovná sa dá nájsť v poznámkach k prednáške. Pridám aj linku na článok na Wikipédii: Volume of an n-ball.

[Martin Sleziak]

12. prednáška (9.5.)
Cantorove rady, iracionálne čísla
Ukázali sme, že každé reálne číslo má jednoznačne určený Cantorov rozvoj.
Ukázali sme, že číslo $e$ je iracionálne - a pozreli sme sa na to, ako sa dá podobný argument zovšeobecniť na niektoré Cantorove rady.
Pre $g$-adický rozvoj dostaneme racionálne číslo práve vtedy, keď je periodický - dôkaz je podobný ako pre desiatkový zápis, nerobili sme ho.
Kedy sú čísla tvaru $\sqrt[n]a$ iracionálne.