Úlohy LS 2012/13

[Martin Sleziak]

Poznámka: Viaceré úlohy, ktoré sú tu, sú náročnejšie na počítanie. Je pravda, že je veľa dostupných programov, ktoré ich vedia riešiť. Napriek tomu je dobré prerátať zopár príkladov - pomáha to podľa mňa pochopeniu vecí, ktoré sa učíme. (A navyše je to príprava na písomku.) Určite je rozumné skúsiť si niekde prekontrolovať, či sú vaše výpočty správne; ale skúste si to vyrátať aj sami a aj sem pošlite riešenia, kde bude aj postup, nie iba výsledok.

Úloha 6.1. Sú matice
$A = \begin{pmatrix}1&0&...&0&0\\\ 0&2&...&0&0\\\ 0&0&...&n-1&0 \\\ 0&0&...&0&n\end{pmatrix}$ a
$B = \begin{pmatrix}n&0&...&0&0\\\ 0&n-1&...&0&0\\\ 0&0&...&2&0 \\\ 0&0&...&0&1\end{pmatrix}$ podobné? Ak áno, nájdite maticu $P$ takú, že $B=PAP^{-1}$.

Úloha 6.2. Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory daných matíc nad poľom $\mathbb C$. Ak taká matica existuje, nájdite regulárnu maticu $P$
s vlastnosťou, že $PAP^{-1}$ je diagonálna:
a) $\begin{pmatrix}1&2\\2&-2\end{pmatrix}$; b) $\begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix}$; c) $\begin{pmatrix}-1&2i\\-2i&2\end{pmatrix}$.

Úloha 6.3. Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory daných matíc nad poľom $\mathbb C$. Ak taká matica existuje, nájdite regulárnu maticu $P$
s vlastnosťou, že $PAP^{-1}$ je diagonálna:
a) $\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$; b) $\begin{pmatrix}-1&-1&1\\0&-2&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$

Úloha 6.4. Pre dané matice vyrátajte charakteristické polynómy $ch_A(x)$, $ch_B(x)$. Vyrátajte aj stopu a determinant týchto matíc a porovnajte ich s príslušnými koeficientami charakteristického polynómu. Sú tieto matice podobné?
$A=
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -2 \\
4 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & -2
\end{pmatrix}
$; $B=
\begin{pmatrix}
1 & 5 & -2 \\
2 & 1 & -4 \\
-2 & -4 & -2
\end{pmatrix}
$

Úloha 6.5 Pre dané matice vyrátajte charakteristické polynómy $ch_A(x)$, $ch_B(x)$. Sú dané matice podobné?
$A=
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -2 \\
4 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & -2
\end{pmatrix}
$; $B=
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -2 \\
1 & 1 & -8 \\
-2 & -2 & -2
\end{pmatrix}
$
Vedeli by ste nájsť aj nejaký jednoduchší príklad matíc, ktoré majú rovnaký charakteristický polynóm, ale určite nie sú podobné?

[Martin Sleziak]

Úloha 7.1. Ukážte, že ak $A$, $B$ sú štvorcové matice typu $n\times n$, tak
$$\begin{vmatrix}A&0\\0&B\end{vmatrix}=|A|\cdot|B|.$$
Vedeli by ste použiť podobný argument pre maticu tvaru $\begin{vmatrix}A&C\\0&B\end{vmatrix}$? (Opäť aj tu je $C$ štvorcová matica typu $n\times n$)

Úloha 7.2.
Nájdite ortogonálnu maticu $P$ takú, že $PAP^T=D$ je diagonálna matica.
$A=\begin{pmatrix}-1&2&0&0\\2&-1&0&0\\0&0&-1&4\\0&0&4&-1\end{pmatrix}$

Úloha 7.3.
Nájdite ortogonálnu maticu $P$ takú, že $PAP^T=D$ je diagonálna matica.
$A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\1&2&-2\\-2&-2&5\end{pmatrix}$

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
1 Filek M.
3 Gábriš M.
1 Hozza J.
5 Korbaš R.
1 Kubincová P.
2 Macháč J.
1 Pápay L.
2 Pisarčíková A.
1 Skok A.

Body za úlohy na fóre som dal už aj do AISu, tam ich najbližšie budem aktualizovať asi až na konci semestra.

(Aj ak už niekto má 5 bodov - a teda nemôže získať viac - tak možno má zmysel písať sem riešenia úloh. Jednak to môže byť užitočné pre ostatných spolužiakov, ktorí uvidia, ako sa zadané úlohy dajú riešiť. A tiež, ak náhodou vaše riešenie nebude správne alebo ak sa dalo riešiť jednoduchšie, tak sa to tu dozviete.)

[Martin Sleziak]

Úloha 8.1. Nájdite Jordanov normálny tvar danej matice. Nájdite aj maticu prechodu a zapíšte príslušnú maticovú rovnosť.
$\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
-4 & 4 & 0 \\
-2 & 1 & 2
\end{pmatrix}$

Úloha 8.2 Nájdite Jordanov tvar pre maticu
$A=\begin{pmatrix}
3 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 5 & -3 \\
4 & -1 & 3 & -1
\end{pmatrix}$

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
3 Anderle M.
3 Gábriš M.
1 Filek M.
1 Hozza J.
5 Korbaš R.
1 Kubincová P.
2 Macháč J.
1 Pápay L.
2 Pisarčíková A.
1 Skok A.

[Martin Sleziak]

Fibonacciho čísla

Zopakovanie vecí, čo sme odvodili na prednáške a cviku:

Pracovali sme s maticou $A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 0\end{pmatrix}$. Vieme o nej, že $A^2-A-I=0$. Používali sme, že
$$
\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=
A\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{pmatrix}
\\
A^n=
\begin{pmatrix}
F_{n+1} & F_n \\
F_n & F_{n-1}
\end{pmatrix}
$$

Odvodili sme:
$\sum_{k=1}^n F_k= F_{n+2}-1$
$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$ (Cassiniho identita)
$F_{m+n}=F_mF_{n+1}+F_{m-1}F_n$ (konvolučná vlastnosť)
$F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})$ a $F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_{n}^2$.
$\sum_{k=0}^nF_k^2=F_nF_{n+1}$

Nasleduje niekoľko úloh týkajúcich sa Fibonacciho čísel. Preferujem riešenia, ktoré budú využívať matice alebo už odvodené identity; ale môžete sa pochváliť aj inými riešeniami a dostať za ne body. Nebudem však dávať body za riešenia, ktoré sú priamym dosadením vzorca pre $F_n$ alebo indukciou. (Jedine ak by sa tam vyskytla nejaká veľmi pekná myšlienka.) Body za úlohu určite dostane prvé správne riešnie. Ak sa objavia ďalšie riešenia a budú mať nejakú peknú/originálnu myšlienku; tak tiež za ne možno bude bod.

Úloha 9.1. Ukážte, že $F_{n-1}F_{n+2}-F_nF_{n+1}=(-1)^n$. Vyskytuje sa táto identita nejako v "missing square puzzle"?

Úloha 9.2. Ukážte, že $F_{2n}=\sum_{k=0}^n{n \choose k}F_k$. (Hint k maticovému odvodeniu: Skúste využiť rovnosť $A^2=I+A$.) Keďže na cviku som povedal k tomuto príkladu aj návod, tak by som rád videl maticové odvodenie. (Aj ak nájdete okrem neho aj nejaké ďalšie riešenie.)

Úloha 9.3. Ukážte $F_n^4-F_{n+2}F_{n+1}F_{n-1}F_{n-2}=1$ pomocou matíc alebo pomocou niektorých už odvodených identít.

Úloha 9.4. Viete pomocou identity $F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$ ukázať, že postupnosť $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ musí konvergovať? Akú bude mať limitu?

[Martin Sleziak]

Niektoré z týchto úloh súvisia s Jordanovým normálnym tvarom alebo sa dajú pomocou neho riešiť. Ak viete vymyslieť riešenie s Jordanovým tvarom aj bez neho, oplatí sa pozrieť na to, či vám veta o Jordanovom tvare nejako zjednodušila život. Hoci sme vetu o Jordanovom tvare nedokázali, v úlohách tejto série sa môže používať.

Úloha 10.1. Ukážte, že každá matica $2\times 2$ nad $\mathbb C$, pre ktorú platí $A^2=0$, musí byť podobná s $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ alebo $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. (Všimnite si, že tým sme vlastne nejako popísali všetky matice spĺňajúce $A^2=0$, konkrétne ako matice tvaru $PJP^{-1}$, kde $P$ je regulárna matica a $J$ má niektorý z uvedených dvoch tvarov.)

Úloha 10.2. Existuje matica $A\ne I$ typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb C$ taká, že $A^3=I$? Vedeli by ste nejako popísať všetky také matice? Vedeli by ste nájsť aj nejakú maticu, v~ktorej všetky hodnoty budú reálne? (Hint k jednému možnému riešeniu poslednej časti: Skúste sa zamyslieť nad tým, čo uvedená rovnosť hovorí o lineárnom zobrazení zodpovedajúcom matici $A$. Iný možný hint: Ak by sme našli maticu s charakteristickýcm polynómom $x^2+x+1=0$, tak táto matica bude určite spĺňať $A^3=I$ na základe Cayley-Hamiltonovej vety. Ďalší hint: Ak máte nejaký iný nápad, nedajte sa mýliť predošlými dvoma hintami.)

Úloha 10.3. Pre maticu $A$ definujeme $e^A=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\dots$ (ak uvedený rad koverguje).
Vypočítajte $e^A$ a $e^B$ ak $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ a $B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$. Overte, či platí $e^Ae^B=e^Be^A$.
(Ako si môžete prečítať napríklad na Wikipedii, uvedená rovnosť by mala platiť v prípade $AB=BA$. Exponenciálna funkcia na maticiach je užitočná napríklad v súvislosti s diferenciálnymi rovnicami a sústavami diferenciálnych rovníc.)

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
5 Anderle M.
1 Filek M.
3 Gábriš M.
2 Hozza J.
5 Korbaš R.
1 Kubincová P.
2 Macháč J.
1 Pápay L.
2 Pisarčíková A.
1 Skok A.

[Martin Sleziak]

Úloha 11.1. Vyjadriť pomocou základných symetrických polynómov:
$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_2+x_3)$.

Úloha 11.2. Vyjadriť pomocou základných symetrických polynómov:
a) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$
b) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^3+x_2^3+x_3^3$

Úloha 11.3.${}^*$
Nájdite (v $\mathbb C$) riešenia sústavy rovníc
$$\begin{align*}
x + y + z &= 4\\
x^2 + y^2 + z^2 &= 4\\
x^3 + y^3 + z^3 &= 4
\end{align*}$$
(Môžu sa vám hodiť nejaké veci, ktoré ste už vyrátali v úlohe 11.2 a Vietove vzťahy.)