msleziak.com

17. prednáška: (22.11.)
Komponenty súvislosti. Definovali sme komponenty súvislosti a ukázali sme, že tvoria rozklad. Komponenty súvislosti sú uzavreté.
Lineárne súvislé priestory. Lineárne súvislé a oblúkovo súvislé priestory.
Každý oblúkovo súvislý priestor je lineárne súvislý. Bez dôkazu sme spomenuli, že pre $T_2$-priestory platí aj opačná implikácia.
Každý lineárne súvislý priestor je súvislý. Príklad priestoru, ktorý je súvislý ale nie je lineárne súvislý - topologist's sine curve.
Lokálne súvislé priestory. Lokálne súvislé a lokálne lineárne súvislé priestory.
Príklad priestoru, ktorý je súvislý aj lineárne súvislý, ale nie je lokálne súvislý ani lokálne lineárne súvislý.
Priestory, ktorý je súvislý a lokálne lineárne súvislý, je lineárne súvislý.
Topologický priestor je lokálne súvislý p.v.k. komponenty súvislosti každej otvorenej množiny sú otvorené.
Faktorový priestor lokálne súvislého priestoru je lokálne súvislý. (Dôkaz tohto tvrdenia som už nestihol.)

18. prednáška: (24.11.)
Filtre a ultrafiltre
Základné fakty o filtroch.
Definícia filtra. Príklady: Kofinitný filter, filter okolí bodu.
Báza filtra - definícia a ako vyzerá zodpovedajúci filter. Báza filtra odvodená od nahor usmernenej množiny. (A aj báza filtra s usporiadaním obrátenou inklúziou tvorí nahor usmernenú množinu.)
Ultrafitre.
Definícia ultrafiltra. Ultrafilter = maximálny filter (vzhľadom na inklúziu).
Hlavný ultrafilter. Voľný filter.
Centrovaný systém. Dôkaz, že každý centrovaný systém je obsiahnutý v nejakom ultrafiltri. (Tzv. ultrafilter lemma. Z toho dostaneme existenciu voľných ultrafiltrov.
Dôkaz sme robili pomocou Zornovej lemy. Viacero ďalších vecí, ktoré sa dajú ukázať pomocou Zornovej lemy, je vymenovaných tu: viewtopic.php?t=620
$\mathcal F$-limita.
Zadefinovali sme $\mathcal F$-limitu. (Najprv všeobecne pre funkciu $f\colon M\to X$ a potom sme sa pozreli na postupnosti, aby sme videli analógiu s obvyklou definíciou limity postupnosti.)
Ukázali sme si, že ak $X$ je $T_2$, tak limita je jednoznačná. (Neskôr sa vrátime k obrátenej implikácii.)
Zadefinovali sme priestor $C(\mathcal F)$ a ukázali sme si, ako súvisí $\mathcal F$-limita funkcie $f$ so spojitosťou zobrazenie $\overline f\colon C(\mathcal F)\to X$.

19. prednáška: (29.11.)$\newcommand{\FF}{\mathcal F}\newcommand{\Flim}{\operatorname{\FF-lim}}$
$\FF$-limita. Niektoré jednoduché vlastnosti - čo sa stane ak vezmeme jemnejší filter, v definícii stačí zobrať množiny zo subbázy. (Tieto veci som zabudol spomenúť minule - tak som ich povedal teraz - naraz pre F-limity aj limity filtrov.)
Špeciálne prípady: Limita siete. Limity $x\to a$, $x\to a^+$, $x\to\infty$ pre reálne funkcie. (Zadefinovali sme aj limitu v bode pre funkcie medzi topologickými priestormi.)
Spomenuli sme si, že ak by sme pracovali s funkciami $M\to\mathbb R$, tak platia podobné veci ako pre obvyklú limitu (súčet a súčin limít, nerovnosť).

Konvergencia filtrov
Definícia limity filtra na $X$, vzťah s F-limitou. (Je to špeciálny prípade F-limity ak $f=id_X$. Súčasne platí: $a\in \Flim f$ $\Leftrightarrow$ $f_*[\mathcal F]\to a$.)
Popis uzáveru, spojitosti, hausdorffovskosti pomocou filtrov. Iniciálna (súčinová) topológia a konvergencia filtrov.
Hromadný bod filtra - definícia a základné vlastnosti.
Na konci sme ešte stihli aj ukázať to, že v kompaktnom priestore má každý filter hromadný bod. (A trochu sme naznačili opačný smer - pri ňom sme ale využívali nejaké veci, ktoré ešte len dokážeme nabudúce.)

20. prednáška: (29.11.)
Flltre, ultrafiltre a kompaktnosť.
V kompaktnom priestore pre každý ultrafilter existuje $\mathcal U$-limita. Ekvivalentné charakterizácie kompaktnosti pomocou konvergencie ultrafiltrov a existencie hromadných bodov filtrov.
Ešte raz Tichonovova veta. Pomocou dokázaných výsledkov o vzťahu medzi kompaktnosťou a U-limitou sme už vedeli spraviť "jednoriadkový" dôkaz Tichonovovej vety.
Aplikácie kompaktnosti.
Rozšírenia limity. Ukázali sme existenciu funkcionálu z $\ell_\infty^*$, ktorý rozširuje limitu a je multiplikatívny. Ukázali sme existenciu funkcionálu z $\ell_\infty^*$, ktorý rozširuje limitu a je invariantný na posun. (Súčasne dostávame, že $\ell_\infty^*\ne\ell_1$.)

21. prednáška: (6.12.)
Iniciálna a finálna topológia.$\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}\newcommand{\Invobr}[2]{\inv{#1}[#2]}$
Spomenuli sme stručne finálnu topológiu. Táto topológia sa rovná $$\mathcal T=\{U\subseteq X; (\forall i\in I)\Invobr{f_i}{U}\in\mathcal T_i\}.$$ Máme jednoduchú charakterizáciu spojitých zobrazeni z priestoru s finálnou topológiou.
Zadefinovali sme iniciálnu topológiu. Ukázali sme, že sa dá popísať pomocou subbázy $$\mathcal S=\{\Invobr {f_i}{U}; i\in I, U\in\mathcal T_i\}.$$ Povedali sme si ako sa dajú popísať spojité zobrazenia do priestoru s iniciálnou topológiou a ako vyzerá konvergencia vo finálnej topológii. (Sú to veľmi podobné veci ako to, čo sme videli pri súčinovej topológii - ktorá je špeciálnym prípadom.)
Slabá a slabá*-topológia sú špeciálne prípady iniciálnej topológie.
Aplikácie kompaktnosti.
Slabá*-topológia, Banach-Alaogluova veta.
Ešte raz sme ukázali existenciu funkcionálov s takými vlastnosťami, ako minule - tentokrát pomocou sietí a Banach-Alaogluovej vety,
Spomenul som, že podobný princíp je užitočný aj inde. (Mám objekty, ktoré v nejakom zmysle aproximujú to, čo chcem dostať. Ak to viem urobiť tak, že sa celá vec odohráva v nejakom kompaktnom priestore, tak budem mať k dispozícii limitu konvergentnej podsiete alebo U-limitu. Ak pracujem s vlastnosťami, ktoré sa pri konvergencii "nekazia", tak mám šancu takto z aproximácií dostať hľadaný objekt.)
Normálne priestory
Jonesova lema. (Nech $X$ je normálny priestor, $D$ je hustá podmnožina v $X$ a $C$ je uzavretá podmnožina $X$, ktorá je diskrétna (v relatívnej topológii). Potom platí $2^{|C|}\le 2^{|D|}$.)
Kontrapríklady: Sorgenfreyova priamka $\mathbb R_l$ je normálny priestor ale $\mathbb R_l\times\mathbb R_l$ nie je normálny. Mooreova rovina $\Gamma$ je úplne regulárny priestor, ktorý nie je normálny. (Z toho dostávame, že podpriestor normálneho priestoru nemusí byť normálny. Vieme, že úplne regulárny priestor sa dá vnoriť do Tichonovovej kocky. Priestor $\langle0,1\rangle^A$ je kompaktný $T_2$-priestor, a teda je to aj $T_4$-priestor.)
Na prednáške som nestihol časť o podpriestoroch a ani ukázať, že priestor $\Gamma$ $\Gamma$ je úplne regulárny - ostatné veci, ktorú tu spomínam, sme stihli.

22. prednáška: (8.12.)
Parakompaktné priestory.
Zjemnenie, definícia parakompaktného priestoru.
Každý kompaktný $T_2$-priestor je parakompaktný.
Ekvivalentné podmienky k parakompaktnosti.

23. prednáška: (13.12.)
Parakompaktné priestory.
Každý parakompaktný priestor je normálny.
Definícia rozkladu jednotky a lokálne konečného rozkladu jednotky. $T_3$-priestor je parakompaktný p.v.k. pre každé otvorené pokrytie existuje podriadený lokálne konečný rozklad jednotky.
Každý metrizovateľný priestor je parakompaktný. (Toto som spomenul - ale bez dôkazu.)

Lindelöfovské priestory.
Definícia Lindelöfovského priestoru.
Každý kompaktný priestor je Lindelöfovský (vidno priamo z definície).
Lindelöfovský $T_3$-priestor je parakompaktný. (Vyplýva z definície - a z "dlhej" vety z minula.)
Uzavretý podpriestor a spojitý obraz Lindelöfovského priestoru. (Obe veci bez dôkazu - ale dôkaz sa dá spraviť veľmi podobne ako pri kompaktných priestoroch.)
V definícii Lindelöfovského priestoru stačí pracovať s pokrytiami obsahujúcimi množiny z vopred zadanej bázy $\mathcal B$. Každý priestor so spočítateľnou bázou topológie je Lindelöfovský.

24. prednáška: (15.12.)
Lokálne kompaktné priestory.
Zaoberali sme sa iba hausdorffovským prípadom. Povedali sme si viacero ekvivalentných podmienok pre lokálnu kompaktnosť.
Spomenuli sme $\mathbb R$ ako príklad lokálne kompaktného priestoru,
Spomenuli sme, že otvorený aj uzavretý podpriestor lokálne kompaktného priestoru je opäť lokálne kompaktný. A to, že podpriestor je lokálne kompaktný p.v.k. je to prienik otvorenej a uzaretej množiny. (Bez dôkazu.)
Jednobodová kompaktifikácia.
Definícia kompaktifikácie, ukázali sme, že priestor $X$ má kompaktifikáciu p.v.k. $X$ je tichonovovský.
Definovali sme jednobodovú (Alexandrovovu) kompaktifikáciu a ukázali sme, že pre lokálne kompaktný $T_2$-priestor takto naozaj dostaneme kompaktifikáciu.
Príklady: $C(\omega)$, kružnica ako jednobodová kompaktifikácia priamky, sféra ako jednobodová kompaktifikácia roviny.
Spomenuli sme, že existuje aj Stone-Čechova kompaktifikácia - ktorá je v istom zmysle "najväčšia" možná. Ale nič viac sme o nej nehovorili.