11. týždeň (29.11.):
Inverzná matica. Definícia inverznej matice. K matici A existuje inverzná práve vtedy, keď A je regulárna matica.
Izomorfizmus vektorových priestorov. Zadefinovali sme pojem izomorfizmu vektorových priestorov a ukázali sme, že každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$ pre nejaké $n$.
Izomorfizmus vlastne hovorí o tom, že dva vektorové priestory sú "v podstate rovnaké".
Niečo podobné si môžete prečítať tu: viewtopic.php?t=495
(Izomorfizmus sme pre grupy nedefinovali; ale princíp je podobný.)
Na prednáške nebudem robiť podkapitolu "elementárne riadkové operácie a súčin matíc". Nebudem z nej skúšať dôkazy - ale vedieť o súvise medzi súčinom a ERO sa oplatí.
Na súčin matíc sa dá pozerať aj takto: V matici $AB$ budú ako riadky lineárne kombinácie riadkov matice $B$. Matica $A$ nám vlastne hovorí, aké koeficienty mám použiť v týchto lineárnych kombináciách (ľahko to vidieť aj bez súvisu "elementárnych riadkových operácií a súčinu matíc", priamo z definície súčinu matíc).
Sústavy lineárnych rovníc. Zadefinovali sme základné pojmy a ukázali si maticový zápis sústavy. Množina riešení sa nemení pri elementárnych riadkových operáciách. (Dôkaz som povedal pomerne stručne.)
Homogénne sústavy. Množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor. Začali sme sa zaoberať tým, ako vyzerá báza priestoru riešení. (z toho dostaneme to, že jeho dimenzia je $n-h(A)$)
Domáca úloha je tu.
Prednášky ZS 2022/23 - algebra
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, Nina Hronkovičová, bpokorna, davidwilsch, jaroslav.gurican, makovnik
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - algebra
12. týždeň (6.12.):
Homogénne sústavy. Popísali sme bázu riešení homogénnej sústavy rovníc - vektory $\gamma_{r+1},\dots, \gamma_n$ ($r$ je hodnosť matice sústavy). Ukázali sme, že dimenzia priestoru riešení homogénnej sústavy je $n-h(A)$. (Nerobil som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy. Nebudem ju ani skúšať - len ľudí, ktorí budú chcieť získať A-čko.)
Hodnosť transponovanej matice. Dokázali sme, že $h(A)=h(A^T)$.
Nehomogénne sústavy. Dokázali sme Frobeniovu vetu a vetu o súvise riešení homogénnej a nehomogénnej sústavy.
Jadro a obraz. Túto časť som na prednáške preskočil. Na skúške od vás budem chcieť aby ste z nej vedeli: Definíciu jadra a obrazu. Ako sa pomocou jadra a obrazu dá charakterizovať injektívnosť a surjektívnosť. (Tu sú dôkazy ľahké, takže tie si môžete pozrieť.) A bez dôkazu vetu o dimenzii jadra a obrazu, t.j. vetu ktorá hovorí, že pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $\dim(V)=\dim(\operatorname{Ker}f)+\dim(\operatorname{Im}f)$.
Determinanty. Popísali sme vyjadrenia riešení sústavy 2 lin. o 2 neznámych pomocou akýchsi špeciálnych vzorcov, povedali sme si, že podobné vzorce vieme nájsť aj pre sústavy $n$ rovníc o $n$ neznámych.
Definícia determinantu - zatiaľ sme nepovedali, čo v definícii znamená $i(\varphi)$ - čiže ktoré členy budú s kladnými a ktoré so zápornými znamienkami.
Domáca úloha je tu
Dosť ma o mrzí, že zatiaľ nikto neprispel do fóra, za každé správne riešenie úlohy, ktorá nebola riešená v rámci cvičenia (ani ako domáca úloha) ste mohli získať jeden bod (max. 5 bodov na človeka). Tá možnosť tu stále je, fórum za týmto účelom necháme otvorené do 23. 12. 2022 (do 23:59:59). Riešenia, ktoré prídu po tomto termíne už nebudeme bodovať.
Homogénne sústavy. Popísali sme bázu riešení homogénnej sústavy rovníc - vektory $\gamma_{r+1},\dots, \gamma_n$ ($r$ je hodnosť matice sústavy). Ukázali sme, že dimenzia priestoru riešení homogénnej sústavy je $n-h(A)$. (Nerobil som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy. Nebudem ju ani skúšať - len ľudí, ktorí budú chcieť získať A-čko.)
Hodnosť transponovanej matice. Dokázali sme, že $h(A)=h(A^T)$.
Nehomogénne sústavy. Dokázali sme Frobeniovu vetu a vetu o súvise riešení homogénnej a nehomogénnej sústavy.
Jadro a obraz. Túto časť som na prednáške preskočil. Na skúške od vás budem chcieť aby ste z nej vedeli: Definíciu jadra a obrazu. Ako sa pomocou jadra a obrazu dá charakterizovať injektívnosť a surjektívnosť. (Tu sú dôkazy ľahké, takže tie si môžete pozrieť.) A bez dôkazu vetu o dimenzii jadra a obrazu, t.j. vetu ktorá hovorí, že pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $\dim(V)=\dim(\operatorname{Ker}f)+\dim(\operatorname{Im}f)$.
Determinanty. Popísali sme vyjadrenia riešení sústavy 2 lin. o 2 neznámych pomocou akýchsi špeciálnych vzorcov, povedali sme si, že podobné vzorce vieme nájsť aj pre sústavy $n$ rovníc o $n$ neznámych.
Definícia determinantu - zatiaľ sme nepovedali, čo v definícii znamená $i(\varphi)$ - čiže ktoré členy budú s kladnými a ktoré so zápornými znamienkami.
Domáca úloha je tu
Dosť ma o mrzí, že zatiaľ nikto neprispel do fóra, za každé správne riešenie úlohy, ktorá nebola riešená v rámci cvičenia (ani ako domáca úloha) ste mohli získať jeden bod (max. 5 bodov na človeka). Tá možnosť tu stále je, fórum za týmto účelom necháme otvorené do 23. 12. 2022 (do 23:59:59). Riešenia, ktoré prídu po tomto termíne už nebudeme bodovať.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - algebra
13. týždeň (13.12.):
Determinanty.
Pripomenuli sme definíciu determinantu.
Vlastnosti počtu inverzíí:
1. $\mathrm{i}(\varphi)=\mathrm{i}(\varphi^{-1})$
2. $(-1)^{\mathrm{i}(\varphi)}\ne (-1)^{\mathrm{i}(\varphi)\circ \mathrm{tr}(i,j)}$ (líšia sa znamienkom) - pri tomto sme povedali, že ak nejakú permutáciu napíšeme ako kompozíciu transpozícií, čo je možné spraviť mnohými spôsobmi, ak je počet tých transpozícií napr. $k$, tak $(-1)^{\mathrm{i}(\varphi)}=(-1)^k$, čiže parita toho počtu transpozícií je určená permutáciou $\varphi$ jednoznačne
3. $(-1)^{\mathrm{i}(\varphi\circ\psi)}=(-1)^{\mathrm{i}(\varphi)}\cdot(-1)^{\mathrm{i}(\psi)}$ - tie vlastnosti sme robili tak pomedzi iné vety a dôkazy.
Transponovaná matica má rovnaký determinant ako pôvodná, t.j $|A|=|A^T|$.
Ako menia riadkové úpravy determinant. Najprv sme ukázali, ako sa zmení determinant, keď vynásobíme jeden riadok prvkom $c$ - ERO typu 2:
$$
\lvert \vec{\alpha_1},\dots,\color{red}{c \vec{\alpha_i}},\dots, \vec{\alpha_n} \rvert=\color{red}{c}\lvert \vec{\alpha_1},\dots, \color{red}{\vec{\alpha_i}},\dots, \vec{\alpha_n} \rvert
,$$ potom sme ukázali, aký je determinant matice, ktorá vznikla z dvoch matíc "súčtom v jednom riadku", kde ostatné riadky sú vo všetkých troch maticiach rovnaké
$$
\lvert \vec{\alpha_1},\dots, \vec{\alpha_{i-1}},\color{red}{\vec{\alpha^{\prime}_i}+ \vec{\alpha^{\prime\prime}_i}},\vec{\alpha_{i+1}},\dots,\alpha_n \rvert=
\lvert \vec{\alpha_1},\dots,\vec{\alpha_{i-1}},\color{red}{\vec{\alpha^{\prime}_i}},\vec{\alpha_{i+1}},\dots,\vec{\alpha_n} \rvert+\lvert \vec{\alpha_1},\dots,\vec{\alpha_{i-1}},\color{red}{\vec{\alpha^{\prime\prime}_i}},\vec{\alpha_{i+1}},\dots,\vec{\alpha_n} \rvert
$$
(posledné dve rovnosti hovoria o tom, že istá funkcia - ktorá vznikne z determinantu "zafixovaním" vektorov na $n-1$ súradniciach, t.j. "zafixovaním" $n-1$ riadkov v matici - je lineárna), potom sme dokázali, že ak sú v matici dva riadky rovnaké, tak je determinant $0$, dôsledok bol, že ak vymeníme riadky v matici, determinant zmení znamienko (ERO typu 1 mení znamienko determinantu). Ukázali sme, že determinant sa nezmení, ak pripočítam násobok niektorého riadku ku inému riadku (ERO typu 3 nemení determinant)
Povedali sme Laplaceov rozvoj, najprv vo forme
$$
\lvert A\rvert = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\dots a_{1n}A_{1n}
,$$
hodnotu $A_{ij}$ sme nazvali algebraický doplnok prvku $a_{ij}$, povedali sme (bez dôkazu), že $A_{ij}=(-1)^{i+j}\lvert M_{rs}\rvert$, kde $M_{rs}$ je matica, ktorá vznikne z matice $A$ vynechaním $r$-tého riadku a $s$-tého stĺpca, na základe čoho sme povedali úplnú formuláciu vety o Laplaceovom rozvoji determinantu podľa $r$-tého riadku
$$
\lvert A\rvert = (-1)^{r+1}a_{r1}\lvert M_{r1}\rvert+(-1)^{r+2}a_{r2}\lvert M_{r2}\rvert+\dots (-1)^{r+n}a_{rn}\lvert M_{rn}\rvert
.$$
Priamo zo vzorca $\lvert A \rvert=\lvert A^T \rvert$ vyplýva, že analogický rozvoj sa dá robiť aj podľa stĺpca.
(Je známa aj všeobecnejšia verzia Laplaceovho rozvoja - podľa viacerých riadkov - alebo stĺpcov - , je to o kúsok zložitejšie, nespomínal som to.)
Determinant hornej trojuholníkovej a diagonálnej matice - súčin prvkov na diagonále. (Toto tiež bolo bez dôkazu - opäť som to iba spomenul, ľahko sa to vypočíta pomocou postupného použitia Laplaceovho rozvoja - treba ísť od spodného riadku, alebo od ľavého stĺpca, ak použijete rozvoje podľa stĺpcov). Ako dôsledok sme povedali, ze matica je regulárna práve vtedy, keď je jej determinant nenulový. Povedali sme, že jeden zo spôsobov výpočtu determinantu je úprava na horný trojuholníkový tvar, pričom si treba zaznamenať, koľkokrát sa zmenilo znamienko (koľkokrát sme vymenili riadky) a akými prvkami sme násobili, ak sme používali ERO typu 2 - súčinom tých prvkov potom treba determinant výslednej hornej trojuholníkovej matice vydeliť a upraviť znamienko.
Čo ma mrzí, zabudol som povedať o determinante súčinu matíc, že platí $\lvert A\cdot B\rvert = \lvert A\rvert\cdot\lvert B\rvert$ - je dobre si toto tvrdenia zapamätať, vedieť o ňom. Dôkaz skúšať nebudem.
Niektoré z týchto vecí možno spomeniete na cvičení, keď budete rátať nejaké príklady (ak sa k tomu na cvičení dostanete).
Veci o determinantoch som dokazoval trochu iným spôsobom a v inom poradí ako je v texte k prednáške.
Samozrejme, na skúške mi bude jedno, ktorý dôkaz spravíte - či podľa prednášky alebo podľa skrípt (alebo vymyslíte niečo úplne nové - len to musí byť správne).
Na stránke predmetu nájdete prehľad základných vecí o determinantoch (je tam aj zopár riešených príkladov).
Niečo o geometrickom význame determinantu je napísané aj tu: viewtopic.php?t=555 a viewtopic.php?t=1621
Keď je reč o geometrickom význame determinantu, tak spomeniem toto pekné video: The determinant | Essence of linear algebra, chapter 6
Youtube kanál: 3Blue1Brown (Wikipédia: 3Blue1Brown) má veľa zaujímavých videí z rôznych oblastí matematiky, v súvislosti s týmto predmetom vás môže zaujímať playlist Essence of linear algebra.
Viaceré veci, ktoré sme preberali, sú tam pekne vizualizované - môže vám to pomôcť získať lepšiu geometrickú predstavu o týchto témach.
Domáca úloha už po dnešnej prednáške nebude. Pripomínam, že stále môžete písať svoje riešenia (podľa pokynov z minulého popisu), bodovať budem riešenia, ktoré do fóra napíšete do 23. 12., 23:59:59.
Informácie o skúške nájdete tu.
Determinanty.
Pripomenuli sme definíciu determinantu.
Vlastnosti počtu inverzíí:
1. $\mathrm{i}(\varphi)=\mathrm{i}(\varphi^{-1})$
2. $(-1)^{\mathrm{i}(\varphi)}\ne (-1)^{\mathrm{i}(\varphi)\circ \mathrm{tr}(i,j)}$ (líšia sa znamienkom) - pri tomto sme povedali, že ak nejakú permutáciu napíšeme ako kompozíciu transpozícií, čo je možné spraviť mnohými spôsobmi, ak je počet tých transpozícií napr. $k$, tak $(-1)^{\mathrm{i}(\varphi)}=(-1)^k$, čiže parita toho počtu transpozícií je určená permutáciou $\varphi$ jednoznačne
3. $(-1)^{\mathrm{i}(\varphi\circ\psi)}=(-1)^{\mathrm{i}(\varphi)}\cdot(-1)^{\mathrm{i}(\psi)}$ - tie vlastnosti sme robili tak pomedzi iné vety a dôkazy.
Transponovaná matica má rovnaký determinant ako pôvodná, t.j $|A|=|A^T|$.
Ako menia riadkové úpravy determinant. Najprv sme ukázali, ako sa zmení determinant, keď vynásobíme jeden riadok prvkom $c$ - ERO typu 2:
$$
\lvert \vec{\alpha_1},\dots,\color{red}{c \vec{\alpha_i}},\dots, \vec{\alpha_n} \rvert=\color{red}{c}\lvert \vec{\alpha_1},\dots, \color{red}{\vec{\alpha_i}},\dots, \vec{\alpha_n} \rvert
,$$ potom sme ukázali, aký je determinant matice, ktorá vznikla z dvoch matíc "súčtom v jednom riadku", kde ostatné riadky sú vo všetkých troch maticiach rovnaké
$$
\lvert \vec{\alpha_1},\dots, \vec{\alpha_{i-1}},\color{red}{\vec{\alpha^{\prime}_i}+ \vec{\alpha^{\prime\prime}_i}},\vec{\alpha_{i+1}},\dots,\alpha_n \rvert=
\lvert \vec{\alpha_1},\dots,\vec{\alpha_{i-1}},\color{red}{\vec{\alpha^{\prime}_i}},\vec{\alpha_{i+1}},\dots,\vec{\alpha_n} \rvert+\lvert \vec{\alpha_1},\dots,\vec{\alpha_{i-1}},\color{red}{\vec{\alpha^{\prime\prime}_i}},\vec{\alpha_{i+1}},\dots,\vec{\alpha_n} \rvert
$$
(posledné dve rovnosti hovoria o tom, že istá funkcia - ktorá vznikne z determinantu "zafixovaním" vektorov na $n-1$ súradniciach, t.j. "zafixovaním" $n-1$ riadkov v matici - je lineárna), potom sme dokázali, že ak sú v matici dva riadky rovnaké, tak je determinant $0$, dôsledok bol, že ak vymeníme riadky v matici, determinant zmení znamienko (ERO typu 1 mení znamienko determinantu). Ukázali sme, že determinant sa nezmení, ak pripočítam násobok niektorého riadku ku inému riadku (ERO typu 3 nemení determinant)
Povedali sme Laplaceov rozvoj, najprv vo forme
$$
\lvert A\rvert = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\dots a_{1n}A_{1n}
,$$
hodnotu $A_{ij}$ sme nazvali algebraický doplnok prvku $a_{ij}$, povedali sme (bez dôkazu), že $A_{ij}=(-1)^{i+j}\lvert M_{rs}\rvert$, kde $M_{rs}$ je matica, ktorá vznikne z matice $A$ vynechaním $r$-tého riadku a $s$-tého stĺpca, na základe čoho sme povedali úplnú formuláciu vety o Laplaceovom rozvoji determinantu podľa $r$-tého riadku
$$
\lvert A\rvert = (-1)^{r+1}a_{r1}\lvert M_{r1}\rvert+(-1)^{r+2}a_{r2}\lvert M_{r2}\rvert+\dots (-1)^{r+n}a_{rn}\lvert M_{rn}\rvert
.$$
Priamo zo vzorca $\lvert A \rvert=\lvert A^T \rvert$ vyplýva, že analogický rozvoj sa dá robiť aj podľa stĺpca.
(Je známa aj všeobecnejšia verzia Laplaceovho rozvoja - podľa viacerých riadkov - alebo stĺpcov - , je to o kúsok zložitejšie, nespomínal som to.)
Determinant hornej trojuholníkovej a diagonálnej matice - súčin prvkov na diagonále. (Toto tiež bolo bez dôkazu - opäť som to iba spomenul, ľahko sa to vypočíta pomocou postupného použitia Laplaceovho rozvoja - treba ísť od spodného riadku, alebo od ľavého stĺpca, ak použijete rozvoje podľa stĺpcov). Ako dôsledok sme povedali, ze matica je regulárna práve vtedy, keď je jej determinant nenulový. Povedali sme, že jeden zo spôsobov výpočtu determinantu je úprava na horný trojuholníkový tvar, pričom si treba zaznamenať, koľkokrát sa zmenilo znamienko (koľkokrát sme vymenili riadky) a akými prvkami sme násobili, ak sme používali ERO typu 2 - súčinom tých prvkov potom treba determinant výslednej hornej trojuholníkovej matice vydeliť a upraviť znamienko.
Čo ma mrzí, zabudol som povedať o determinante súčinu matíc, že platí $\lvert A\cdot B\rvert = \lvert A\rvert\cdot\lvert B\rvert$ - je dobre si toto tvrdenia zapamätať, vedieť o ňom. Dôkaz skúšať nebudem.
Niektoré z týchto vecí možno spomeniete na cvičení, keď budete rátať nejaké príklady (ak sa k tomu na cvičení dostanete).
Veci o determinantoch som dokazoval trochu iným spôsobom a v inom poradí ako je v texte k prednáške.
Samozrejme, na skúške mi bude jedno, ktorý dôkaz spravíte - či podľa prednášky alebo podľa skrípt (alebo vymyslíte niečo úplne nové - len to musí byť správne).
Na stránke predmetu nájdete prehľad základných vecí o determinantoch (je tam aj zopár riešených príkladov).
Niečo o geometrickom význame determinantu je napísané aj tu: viewtopic.php?t=555 a viewtopic.php?t=1621
Keď je reč o geometrickom význame determinantu, tak spomeniem toto pekné video: The determinant | Essence of linear algebra, chapter 6
Youtube kanál: 3Blue1Brown (Wikipédia: 3Blue1Brown) má veľa zaujímavých videí z rôznych oblastí matematiky, v súvislosti s týmto predmetom vás môže zaujímať playlist Essence of linear algebra.
Viaceré veci, ktoré sme preberali, sú tam pekne vizualizované - môže vám to pomôcť získať lepšiu geometrickú predstavu o týchto témach.
Domáca úloha už po dnešnej prednáške nebude. Pripomínam, že stále môžete písať svoje riešenia (podľa pokynov z minulého popisu), bodovať budem riešenia, ktoré do fóra napíšete do 23. 12., 23:59:59.
Informácie o skúške nájdete tu.