10. prednáška (27.4.):
Povedali sme si niečo o tom, že transfinitná rekurzia sa dá použiť aj na celú triedu ordinálnych čísel: Ako príklad sme spomenuli ordinálnu aritmetiku: súčet, súčin aj umocňovanie ordinálov je možné definovať takýmto spôsobom.
Tiež sme stručne spomenuli, že použitie transfinitnej indukcie či transfinitnej rekurzie funguje v ZF, t.j. nepotrebujeme axiómu výberu.
Zornova lema. Ukázali sme si dôkaz implikácie AC$\Rightarrow$ZL.
Existencia algebraického uzáveru. Pomocou transfinitnej rekurzie sme ukázali, že každé pole má algebraický uzáver. Stručne sme povedali niečo aj o dôkaze cez Zornovu lemu.
Apliktm - prednášky LS 2022/23
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Apliktm - prednášky LS 2022/23
11. prednáška (4.5.)
Skoro disjunktné systémy.
Definícia AD-sytému a MAD-systému. Každý AD-systém je obsiahnutý v MAD-systéme (dôkaz sme preskočili). MAD-systém nemôže byť spočítateľný.
Ukázali sme pomocou postupností racionálnych čísel, že na spočítateľnej množine existuje AD-systém kardinality $\mathfrak c$. Niečo k iným možnostiam dôkazu sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=788
Hamelova báza. Definícia bázy v nekonečnorozmerných priestorov. (Vo vektorovom priestore pracujeme iba s konečnými lineárnymi kombináciami - na rozdiel od Schauderovej bázy, ktorá sa dá definovať ak máme k dispozícii aj konvergenciu.)
Spomenuli sme základné fakty (bez dôkazu): Každá lineárne nezávislá množina je obsiahnutá v nejakej báze. Ľubovoľné dve bázy majú rovnakú kardinalitu.
Ako príklad sme si ukázali, že $\dim(c_{00})=\aleph_0$. Bez dôkazu sme spomenuli $\dim(\mathbb R^{\mathbb N})=\mathbb c$. (Toto je ako cvičenie v texte k prednáške, kde sú k tomu aj nejaké hinty. Jeden z možných dôkazov využíva skoro disjunktné systémy.)
Dimenzia Banachových priestorov.
Nestihol som spraviť to, ako sa pomocou Baireovej vety o kategórii dá ukázať, že Hamelova dimenzia BP musí byť nespočítateľná. Dôkaz sa dá pozrieť napríklad tu: Let $X$ be an infinite dimensional Banach space. Prove that every Hamel basis of X is uncountable.. (Každopádne BCT je dôležité tvrdenie, ktoré má aj ďalšie aplikácie - niektoré sú spomenuté tu: viewtopic.php?t=856 Takže takéto niečo je asi celkom užitočné cvičenie.)
Ukázali sme však (pomocou AD systémov), že dimenzia určite bude aspoň $\mathfrak c$, pozri aj linky tu: viewtopic.php?t=800
Skoro disjunktné systémy.
Definícia AD-sytému a MAD-systému. Každý AD-systém je obsiahnutý v MAD-systéme (dôkaz sme preskočili). MAD-systém nemôže byť spočítateľný.
Ukázali sme pomocou postupností racionálnych čísel, že na spočítateľnej množine existuje AD-systém kardinality $\mathfrak c$. Niečo k iným možnostiam dôkazu sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=788
Hamelova báza. Definícia bázy v nekonečnorozmerných priestorov. (Vo vektorovom priestore pracujeme iba s konečnými lineárnymi kombináciami - na rozdiel od Schauderovej bázy, ktorá sa dá definovať ak máme k dispozícii aj konvergenciu.)
Spomenuli sme základné fakty (bez dôkazu): Každá lineárne nezávislá množina je obsiahnutá v nejakej báze. Ľubovoľné dve bázy majú rovnakú kardinalitu.
Ako príklad sme si ukázali, že $\dim(c_{00})=\aleph_0$. Bez dôkazu sme spomenuli $\dim(\mathbb R^{\mathbb N})=\mathbb c$. (Toto je ako cvičenie v texte k prednáške, kde sú k tomu aj nejaké hinty. Jeden z možných dôkazov využíva skoro disjunktné systémy.)
Dimenzia Banachových priestorov.
Nestihol som spraviť to, ako sa pomocou Baireovej vety o kategórii dá ukázať, že Hamelova dimenzia BP musí byť nespočítateľná. Dôkaz sa dá pozrieť napríklad tu: Let $X$ be an infinite dimensional Banach space. Prove that every Hamel basis of X is uncountable.. (Každopádne BCT je dôležité tvrdenie, ktoré má aj ďalšie aplikácie - niektoré sú spomenuté tu: viewtopic.php?t=856 Takže takéto niečo je asi celkom užitočné cvičenie.)
Ukázali sme však (pomocou AD systémov), že dimenzia určite bude aspoň $\mathfrak c$, pozri aj linky tu: viewtopic.php?t=800
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Apliktm - prednášky LS 2022/23
12. prednáška (11.5.)
Na začiatku sme ešte stručne spomenuli iné možnosti dôkazu existencie AD-systému kardinality $\mathfrak c$: viewtopic.php?t=788 - sčasti aj preto, že v jednom z nich sa vyskytol nekonečný binárny strom a nekonečné stromy vlastne dnes mali byť hlavná téma.
Kőnigova lema
Sformulovali sme základné pojmy týkajúce sa nekonečných stromov. Dokázali sme Kőnigovu lema. (Chvíľu sme potom rozprávali aj o tom, že Kőnigova lema sa nedá dokázať v ZF. Náš dôkaz využíval axiómu výberu - v indukčnom kroku sme vyberali nejaký prvok, takže máme nekonečne veľa výberov.)
Pomocou Kőnigovej lemy sme dokázali nekonečnú verziu Ramseyovej vety. Na konci sme ešte urobili dôkaz, že z nej vyplýva aj konečná verzia. (V texte s poznámkami je tento dôkaz nedokončený, spomeniem, že sa dá nájsť ako Corollary 2.3 v Halbeisen: Combinatorial Set Theory.
Na začiatku sme ešte stručne spomenuli iné možnosti dôkazu existencie AD-systému kardinality $\mathfrak c$: viewtopic.php?t=788 - sčasti aj preto, že v jednom z nich sa vyskytol nekonečný binárny strom a nekonečné stromy vlastne dnes mali byť hlavná téma.
Kőnigova lema
Sformulovali sme základné pojmy týkajúce sa nekonečných stromov. Dokázali sme Kőnigovu lema. (Chvíľu sme potom rozprávali aj o tom, že Kőnigova lema sa nedá dokázať v ZF. Náš dôkaz využíval axiómu výberu - v indukčnom kroku sme vyberali nejaký prvok, takže máme nekonečne veľa výberov.)
Pomocou Kőnigovej lemy sme dokázali nekonečnú verziu Ramseyovej vety. Na konci sme ešte urobili dôkaz, že z nej vyplýva aj konečná verzia. (V texte s poznámkami je tento dôkaz nedokončený, spomeniem, že sa dá nájsť ako Corollary 2.3 v Halbeisen: Combinatorial Set Theory.