Prednášky ZS 2023/24 - teória čísel

[Martin Sleziak]

12. týždeň (8.12.)
Legendrov symbol. $\newcommand{\ldcc}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Ukázali sme si lemu o tom, kedy platí $\ldcc{2x}=2\ldcc x$ a kedy $\ldcc{2x}=2\ldcc x+1$.
Dokázali sme Gaussovu lemu.
Vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.) Spomeniem, že sa dá nájsť veľa rôznych dôkazov zákona kvadratickej reciprocity.
Nabudúce sa vrátime k tomu, že si vyskúšame použitie zákona reciprocity na konkrétnom príklade.

[Martin Sleziak]

13. týždeň (15.12.)
Zákon kvadratickej reciprocity.
Pozreli sme sa ešte na to, ako sa zákon reciprocity dá vyjadriť pomocou zvyškových tried $p$ a $q$ modulo $4$.
Ukázali sme na jednom konkrétnom príklade použitie zákona kvadratickej reciprocity na výpočet Legendrovho symbolu.

Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol a ukázali sme niektoré základné vlastnosti. Povedali sme si, že pri Jacobiho symbole už neplatí, že $a$ je kvadratický zvyšok p.v.k. $\left(\frac{a}{P}\right)=1$.
Ukázali sme si, že aj pre Jacobiho symbol platia vzťahy $\left(\frac{-1}{P}\right)=(-1)^{(P-1)/2}$ a $\left(\frac{2}{P}\right)=(-1)^{(P^2-1)/8}$ a platí preň aj zákon kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.
Pre neštvorec existuje nekonečne veľa prvočísel modulo ktoré je to kvadratický zvyšok.

Veci, ktoré som tento semester nestihol prebrať (a teda sa ani neskúšajú): Bertrandov postulát. Möbiova funkcia a Möbiova inverzia.