10. prednáška (29.4.):
Veta o delení so zvyškom. Zopakoval som vetu o delení so zvyškom v okruhu $F[x]$, t.j. pre polynómy nad poľom. Dokázali sme jednoznačnosť v tejto vete. (Existenciu sme dokázali už minule.)
Porovnali sme ju na vetu o delení so zvyškom pre okruh $\mathbb Z$. (Viacero vecí, ktorými sa budeme zaoberať pre okruh $F[x]$, má prirodzené analógie v celých číslach.)
Deliteľnosť v okruhoch.
Viaceré veci v tejto časti sme definovali (a dokázali) pre ľubovoľný obor integrity, zaujímajú nás najmä prípady $\mathbb Z$ a $F[x]$.
Definícia a základné vlastnosti deliteľnosti, asociované prvky, delitele jednotky. Dva prvky sú asociované práve vtedy, keď sa líšia iba vynásobením deliteľom jednotky. (Nedokazoval som, že $(U(R),\cdot)$ je grupa.)
Rozmysleli sme si, že $U(\mathbb Z)=\{\pm1\}$ a $U(F[x])$ pozostáva zo všetkých nenulových konštantných polynómov. (Tým dostávame aj popis asociovanosť v okruhoch $\mathbb Z$ a $F[x]$.)
Najväčší spoločný deliteľ a Euklidov algoritmus
Definícia n.s.d. Rozmysleli sme si, že je určený jednoznačne až na asociovanosť.
Ukázali sme, že $\gcd(qb+r)=\gcd(b,r)$. V $\mathbb Z$ aj v $F[x]$ vieme deliť so zvyškom, teda táto rovnosť nám dáva možnosť ako vypočítať n.s.d.
Povedali sme si o rozšírenom Euklidovom algoritme, Videli sme, že z neho sa dá pre $d=\gcd(a,b)$ nájsť vyjadrenie v tvare $d=ax+by$. Tvrdenie o existencii takých $x,y\in R$ sa nazýva Bézoutova identita.
Rozšírený Euklidov algoritmus je detailne popísaný v poznámkach, niečo o ňom sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=1346 a viewtopic.php?t=298
Ukázali sme, že ak $\gcd(a,b)=1$ a $a\mid bc$, tak $a\mid c$.
Ireducibilné prvky a jednoznačnosť rozkladu.
Spomenul som, k čomu sa chceme dostať nabudúce, chceme dokázať pre okruhy $\mathbb Z$ aj v $F[x]$ niečo, čo sa podobá na existenciu a jednoznačnosť rozkladu čísla na súčin prvočísel.
Prednášky LS 2023/24 - algebra
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, davidwilsch, jaroslav.gurican, Ludovit_Balko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2023/24 - algebra
11. prednáška (6.5.):
Ireducibilné prvky a jednoznačnosť rozkladu.
Definovali sme ireducibilný prvok v obore integrity. V $\mathbb Z$ sú ireducibilné presne prvky tvaru $\pm p$, kde $p$ je prvočíslo. V okruhu $F[x]$ takto dostaneme definíciu ireducibilného polynómu.
Pre ireducibilné prvky v $\mathbb Z$ aj v $F[x]$ platí: $p\mid ab$ $\Rightarrow$ $p\mid a$ $\lor$ $p\mid b$. (Toto je tzv. Euklidova lema.)
Korene.
Definícia koreňa a násobného koreňa. Prvok $c\in F$ je koreňom p.v.k. $x-c\mid f(x)$. (A pri delení so zvyškom máme vyjadrenie $f(x)=q(x)(x-c)+f(c)$, t.j. zvyšok sa rovná $f(c)$.)
Ukázali sme, že nenulový polynóm stupňa $n$ má nanajvýš toľko koreňov (vrátane násobnosti), koľko je jeho stupeň. Z toho sme potom vedeli odvodiť aj to, že pre nekonečné pole sa polynomická funkcia rovná nule p.v.k. všetky koeficienty sú nulové: viewtopic.php?t=1349
Povedali sme si, čo je dosadzovací homomorfizmus a že pomerne prirodzeným spôsobom dostávame homomorfizmus $\varphi\colon F[x] \to F\langle x \rangle$ z okruhu polynómov do okruhu polynomických funkcií. Ak $F$ je nekonečné pole, tak je to dokonca izomorfizmus, čiže platí $F[x] \cong F\langle x \rangle$.
Ireducibilné prvky a jednoznačnosť rozkladu.
Definovali sme ireducibilný prvok v obore integrity. V $\mathbb Z$ sú ireducibilné presne prvky tvaru $\pm p$, kde $p$ je prvočíslo. V okruhu $F[x]$ takto dostaneme definíciu ireducibilného polynómu.
Pre ireducibilné prvky v $\mathbb Z$ aj v $F[x]$ platí: $p\mid ab$ $\Rightarrow$ $p\mid a$ $\lor$ $p\mid b$. (Toto je tzv. Euklidova lema.)
Korene.
Definícia koreňa a násobného koreňa. Prvok $c\in F$ je koreňom p.v.k. $x-c\mid f(x)$. (A pri delení so zvyškom máme vyjadrenie $f(x)=q(x)(x-c)+f(c)$, t.j. zvyšok sa rovná $f(c)$.)
Ukázali sme, že nenulový polynóm stupňa $n$ má nanajvýš toľko koreňov (vrátane násobnosti), koľko je jeho stupeň. Z toho sme potom vedeli odvodiť aj to, že pre nekonečné pole sa polynomická funkcia rovná nule p.v.k. všetky koeficienty sú nulové: viewtopic.php?t=1349
Povedali sme si, čo je dosadzovací homomorfizmus a že pomerne prirodzeným spôsobom dostávame homomorfizmus $\varphi\colon F[x] \to F\langle x \rangle$ z okruhu polynómov do okruhu polynomických funkcií. Ak $F$ je nekonečné pole, tak je to dokonca izomorfizmus, čiže platí $F[x] \cong F\langle x \rangle$.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2023/24 - algebra
12. prednáška (13.5.):
Algebraicky uzavreté polia
Definícia algebraicky uzavretého poľa.
Spomenuli sme základnú vetu algebry: Každý ńekonštatný polynóm $f(x)\in\mathbb C[x]$ má koreň v $\mathbb C$.
Každé pole má algebraicky uzavreté nadpole.
(Tieto výsledky boli bez dôkazu - v oboch prípadoch je dôkaz dosť náročný.)
Korene a ireducibilné polynómy
Komplexne združené korene: Ak polynóm s reálnym koeficientami má koreň $z$, tak aj jeho komplexne združené číslo $\overline z$ je koreňom. Ako dôsledok dostaneme, že každý reálny polynóm nepárneho stupňa má aspoň jeden reálny koreň.
Navyše z takých dvojíc komplexne združených čísel $a\pm bi$ vieme dostať polynómy tvaru $x^2-2ax+a^2+b^2$, ktoré sa vyskytnú v rozklade daného polynómu.
Vedeli sme teda pomerne jednoducho popísať ireduciblné polynómy v $\mathbb C[x]$ a v $\mathbb R[x]$.
Polynóm stupňa 2, 3 je ireducibilný v $F[x]$ p.v.k. nemá koreň v $F$.
Rozmysleli sme si, ako vieme rozložiť $x^4+1$ resp. $x^4+4$ nad poľom $\mathbb C$, $\mathbb R$, $\mathbb Q$. (Tento príklad mal ilustrovať to, že nad rôznymi poliami dostaneme rôzne rozklady na súčin ireducibilných polynóm. A tiež to, že tvrdenie o ekvivalencie medzi ireducibilitou a neexistenciou koreňov už pre polynómy stupňa 4 neplatí.)
Formálna derivácia.
Tento pojem som iba stručne spomenul - my poznáme deriváciu z matematickej analýzy pre prípad $F=\mathbb R$. Rozmysleli sme si to, že násobný koreň nejakého polynómu je súčasne koreňom jeho derivácie.
Jordanov normálny tvar
Na konci som sa vrátil ešte k Jordanovmu normálnemu tvaru - povedal som aspoň čo to je a bez dôkazu vyslovil vetu, že každá matica je podobná s nejakou maticou v takomto tvare. (Čiže v tvare, ktorý nie je priveľmi ďaleko od diagonálnej matice.)
Pre matice podobné s diagonálnou vieme povedať ako vyzerá jej mocnina. Máme totiž $A^k=P^{-1}D^kP$, a teda nám stačí pracovať s mocninami diagonálnej matice.
Pozreli sme sa najprv na mocniny jedného Jordanovho bloku (a špeciálne na prípad, keď $\lambda=0$). T.j. na mocniny takýchto matíc:
$$N=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\qquad
J=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}$$
Spomenuli sme si, že binomická veta v tvare $(X+Y)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk X^{n-k}Y^k$ funguje pre matice také, že $XY=YX$, t.j. ak matice $X$ a $Y$ komutujú. To nám môže pomôcť pri dôkaze toho ako vyzerajú mocniny $J^n=(\lambda I+N)^n$.
Pridám aj nejaké linky:
* Wikipédia: Jordan normal form § Matrix functions (súčasná revízia)
* MSE: Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?
Algebraicky uzavreté polia
Definícia algebraicky uzavretého poľa.
Spomenuli sme základnú vetu algebry: Každý ńekonštatný polynóm $f(x)\in\mathbb C[x]$ má koreň v $\mathbb C$.
Každé pole má algebraicky uzavreté nadpole.
(Tieto výsledky boli bez dôkazu - v oboch prípadoch je dôkaz dosť náročný.)
Korene a ireducibilné polynómy
Komplexne združené korene: Ak polynóm s reálnym koeficientami má koreň $z$, tak aj jeho komplexne združené číslo $\overline z$ je koreňom. Ako dôsledok dostaneme, že každý reálny polynóm nepárneho stupňa má aspoň jeden reálny koreň.
Navyše z takých dvojíc komplexne združených čísel $a\pm bi$ vieme dostať polynómy tvaru $x^2-2ax+a^2+b^2$, ktoré sa vyskytnú v rozklade daného polynómu.
Vedeli sme teda pomerne jednoducho popísať ireduciblné polynómy v $\mathbb C[x]$ a v $\mathbb R[x]$.
Polynóm stupňa 2, 3 je ireducibilný v $F[x]$ p.v.k. nemá koreň v $F$.
Rozmysleli sme si, ako vieme rozložiť $x^4+1$ resp. $x^4+4$ nad poľom $\mathbb C$, $\mathbb R$, $\mathbb Q$. (Tento príklad mal ilustrovať to, že nad rôznymi poliami dostaneme rôzne rozklady na súčin ireducibilných polynóm. A tiež to, že tvrdenie o ekvivalencie medzi ireducibilitou a neexistenciou koreňov už pre polynómy stupňa 4 neplatí.)
Formálna derivácia.
Tento pojem som iba stručne spomenul - my poznáme deriváciu z matematickej analýzy pre prípad $F=\mathbb R$. Rozmysleli sme si to, že násobný koreň nejakého polynómu je súčasne koreňom jeho derivácie.
Jordanov normálny tvar
Na konci som sa vrátil ešte k Jordanovmu normálnemu tvaru - povedal som aspoň čo to je a bez dôkazu vyslovil vetu, že každá matica je podobná s nejakou maticou v takomto tvare. (Čiže v tvare, ktorý nie je priveľmi ďaleko od diagonálnej matice.)
Pre matice podobné s diagonálnou vieme povedať ako vyzerá jej mocnina. Máme totiž $A^k=P^{-1}D^kP$, a teda nám stačí pracovať s mocninami diagonálnej matice.
Pozreli sme sa najprv na mocniny jedného Jordanovho bloku (a špeciálne na prípad, keď $\lambda=0$). T.j. na mocniny takýchto matíc:
$$N=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\qquad
J=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}$$
Spomenuli sme si, že binomická veta v tvare $(X+Y)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk X^{n-k}Y^k$ funguje pre matice také, že $XY=YX$, t.j. ak matice $X$ a $Y$ komutujú. To nám môže pomôcť pri dôkaze toho ako vyzerajú mocniny $J^n=(\lambda I+N)^n$.
Pridám aj nejaké linky:
* Wikipédia: Jordan normal form § Matrix functions (súčasná revízia)
* MSE: Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?