msleziak.com

10. prednáška: (2.12.)
Úplne regulárne priestory.
Podpriestor úplne regulárneho priestoru je úplne regulárny.
Každý metrický priestor je úplne regulárny.
Normálne priestory
Definícia normálneho priestoru a $T_4$-priestoru. Ekvivalentná charakterizácia cez $C\subseteq O\subseteq\overline O\subseteq U$.
Uzavretý podpriestor normálneho priestoru je opäť normálny. (Bez dôkazu sme spomenuli, že trieda $T_4$-priestorov nie je uzavretá na podpriestory ani na súčiny.)
Urysohnova lema a jej dôkaz. (Ako dôsledok dostávame, že každý $T_4$-priestor je tichonovovský.)

11. prednáška: (9.12.)
Normálne priestory
Každý metrický priestor je $T_4$.
Tietzeho veta - bez dôkazu.
Takisto fakt, že $T_4$ priestory nie sú uzavreté na súčiny ani na podpriestory som iba povedal - ale neukazoval som kontrapríklady. (To isté platí o kontrapríkladoch na to, že implikácie $T_4 \Rightarrow T_{3\frac12} \Rightarrow T_3 \Rightarrow T_2$ sa nedajú otočiť.)
Kompaktné priestory.
Definícia kompaktného priestoru, jednoduché príklady. Interval $\langle0,1\rangle$ je kompaktný.
Charakterizácia pomocou centrovaného systému. Uzavretý podpriestor kompaktného priestoru je kompaktný. Kompaktný podpriestor $T_2$-priestoru je uzavretý.
V $T_2$-priestore sa disjunktné kompaktné podmnožiny dajú oddeliť otvorenými množinami.

12. prednáška: (16.12.)
Kompaktné priestory.
Každý kompaktný $T_2$-priestor je $T_4$. (Toto vyplýva z poslednej vety z minulej prednášky.)
Tichonovova veta. Vyslovili sme Tichonovou vetu a spomenuli sme niektoré jej dôsledky.
Ukázali sme si dôkaz Tichonovovej vety založený na Alexandrovej vete o subbáze. Túto vetu sme aj dokázali - využívali sme tam Zornovu lemu - tú ste možno mohli už stretnúť aj na iných predmetoch: viewtopic.php?t=620
Kompaktnosť a konvergencia.
Topologický priestor je kompaktný p.v.k. každá sieť v $X$ má hromadný bod. (Neskôr si povieme niečo aj o vzťahu medzi kompaktnosťou a konvergenciou ultrafiltrov.)
Spojitý obraz kompaktného priestoru. Ukázali sme si, že spojitý obraz kompaktného priestoru je kompaktný. Z tejto vety sa dá tiež dostať niekoľko dôsledkov - tie som už nestihol spomenúť. (Ak je cieľový priestor hausdorffovský, dostávame uzavreté zobrazenie; v prípade, že ide o bijekciu, dostávame homeomorfizmus. Ak je cieľový priestor $\mathbb R$, tak obraz je ohraničený Uzavretý interval, nadobúda sa minimum a maximum.)