10. prednáška (25.11.):
Eulerova funkcia. Dokázali sme Eulerovu vetu. Dokázali sme, že $\sum\limits_{d\mid n} \varphi(d)=n$.
Lagrangeova veta. Ukázali sme si dva dôkazy Lagrangeovej vety.
Prednášky ZS 2013/14
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2013/14
11. prednáška (2.12):
Möbiova funkcia.Definícia a základné vlastnosti. Möbiova inverzia.
Wilsonova veta. Urobili sme dva dôkazy Wilsonovej vety. (Nerobil som kombinatorický dôkaz, ktorý je v poznámkach k prednáške.)
Takisto som preskočil dôkaz toho, že $\liminf \varphi(n)/n=0$ a $\limsup \varphi(n)/n=1$. (Nebudem ho ani skúšať. Koho by to zaujímalo, tak je v poznámkach.)
Kvadratické zvyšky. Zatiaľ sme stihli iba definíciu a ukázali sme, že modulo $p$ máme $(p-1)/2$ kvadratických zvyškov a $(p-1)/2$ kvadratických nezvyškov.
Möbiova funkcia.Definícia a základné vlastnosti. Möbiova inverzia.
Wilsonova veta. Urobili sme dva dôkazy Wilsonovej vety. (Nerobil som kombinatorický dôkaz, ktorý je v poznámkach k prednáške.)
Takisto som preskočil dôkaz toho, že $\liminf \varphi(n)/n=0$ a $\limsup \varphi(n)/n=1$. (Nebudem ho ani skúšať. Koho by to zaujímalo, tak je v poznámkach.)
Kvadratické zvyšky. Zatiaľ sme stihli iba definíciu a ukázali sme, že modulo $p$ máme $(p-1)/2$ kvadratických zvyškov a $(p-1)/2$ kvadratických nezvyškov.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2013/14
12. prednáška (9.12:)
Legendrov symbol. Definícia. Eulerovo kritérium. Základné vlastnosti Legendrovho symbolu. Gaussova lema a vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Legendrov symbol. Definícia. Eulerovo kritérium. Základné vlastnosti Legendrovho symbolu. Gaussova lema a vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2013/14
13. prednáška (16.12.)
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.)
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol, ukázali sme jeho vlastnosti, vrátane zákona kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.
V texte sme došli po koniec časti 4.4. (Časť 4.5. o kvadratických kongruenciách modulo zložené čísla som nestihol odprednášať a nebudem ju ani skúšať.)
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.)
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol, ukázali sme jeho vlastnosti, vrátane zákona kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.
V texte sme došli po koniec časti 4.4. (Časť 4.5. o kvadratických kongruenciách modulo zložené čísla som nestihol odprednášať a nebudem ju ani skúšať.)