msleziak.com

10. prednáška (29.4.):
Ešte sme sa vrátili k dokončeniu z predošlej prednášky - pozreli sme sa na to, ako vyzerajú delitele jednotky v okruhu $F[x]$.
Euklidovské okruhy. Definícia, $\mathbb Z$ aj $F[x]$ sú Euklidovské okruhy.
Okruhy hlavných ideálov. Definícia, dokázali sme, že každý euklidovský okruh je OHI. Každý nenulový prvoideál v OHI je maximálny.
Deliteľnosť v okruhoch hlavných ideálov. Vysvetlili sme si, že $(a)\subseteq(b)$ $\Leftrightarrow$ $b\mid a$. Zadefinovali sme najväčší spoločný deliteľ a ukázali sme si, že je to presne generátor ideálu $(a,b)=\{ax+by; x,y\in R\}$. Z toho vyplýva, že $\gcd(a,b)$ sa dá vyjadriť v tvare $ax+by$; nehovorili sme však o tom, ako takéto vyjadrenie v prípade okruhov $\mathbb Z$ a $F[x]$ aj nájsť - tomu sa budeme venovať na cvičeniach. (Ale ak by sa to niekto chcel pozrieť skôr, než sa k tomu dostaneme na cviku, tak v texte k prednáške to je vcelku podrobne vysvetlené aj s príkladmi.)
Gaussove okruhy (okruhy s jednoznačným rozkladom) Zatiaľ sme stihli iba zadefinovať ireducibilný prvok a povedať si ako vyzerajú ireducibilné prvky v $\mathbb Z$. Tiež sme ukázali, že ireducibilné prvky v OHI súvisia s prvoideálmi. K samotnej definícii okruhu s jednoznačným rozkladom sa dostaneme až nabudúce.

11. prednáška (6.5.):
Okruhy s jednoznačným rozkladom. Dokázali sme, že každý okruh hlavných ideálov je okruh s jednoznačným rozkladom. Na príklade polynómu $x^4+1$ sme si ukázali, že rozklad polynómu na ireducibilné polynómy závisí od toho, nad akým poľom pracujeme. (V tomto prípade sme sa pozerali na ten istý polynóm ako na prvok z $\mathbb Q[x]$, $\mathbb R[x]$, $\mathbb C[x]$.)
Podielové pole. Túto časť sme preskočili, zostala vám na samostatné naštudovanie. (T.j. skúšať sa bude tak, ako keby som ju odprednášal.)
Charakteristika poľa. Zadefinovali sme charakteristiku poľa. Ukázali sme, že to môže byť iba $\infty$ alebo prvočíslo a že konečné polia majú konečnú charakteristiku. Dokázali sme aj to, že počet prvkov konečného poľa musí byť tvaru $p^n$, kde $p$ je prvočíslo. (Tam sme využili fakt, že ak $K$ je nadpole $F$, tak je to súčasne vektorový priestor nad $F$. Tento fakt má síce veľmi jednoduchý dôkaz, ale bude ešte často užitočný.)
Vetu na konci tejto kapitoly, ktorá hovorí, že v poli charakteristiky $p$ platí $(a+b)^p=a^p+b^p$, sme vynechali - pravdepodobne sa nestihneme dostať k dôkazu o jednoznačnosti $p^n$-prvkového poľa, kde túto vetu budeme potrebovať.)

12. prednáška (13.5.):
Rozšírenia polí. Definícia rozšírenia a konečného rozšírenia, stupeň rozšírenia. Pre každý ireducibilný polynóm $p(x)$ existuje rozšírenie, v ktorom má koreň. toto rozšírenie má rovnaký stupeň ako polynóm $p(x)$ a je jednoznačne určené - je izomorfné s $F[x]/p(x)$. Príklady rozšírení polí ($\mathbb C$, $\mathbb Q(\sqrt2)$ a 4-prvkové pole $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$.)
Vetu 5.3.13, ktorá hovorí v istom zmysle o rozšírení izomorfizmu z poľa $F$ na väčšie pole $F(u)$, vynecháme. (Povieme si k nej stručný komentár, ak sa dostaneme k miestu, kde ju budem potrebovať.)

Ešte spomeniem, že zdôvodnenie toho, že homomorfizmus $\overline\varphi_u$ v dôkaze vety 5.3.11 je nenulový, sa dalo urobiť oveľa jednoduchšie: Stačilo si všimnúť, že $\overline\varphi_u(1)=1$. (Dôkaz napísaný v poznámkach má na tomto mieste chybu.)

Na fórum som ešte pridal opravu jednej veci - na jednu otázku, ktorá padla na prednáške, som odpovedal nesprávne: viewtopic.php?t=456

13. prednáška (20.5.):
Algebraické rozšírenia. Definícia algebraického prvku, algebraického rozšírenia, minimálneho polynómu. Prvok $u$ je algebraický práve vtedy, keď $F(u)$ je konečné rozšírenie $F$. Dôkaz rovnosti $[K:F]=[K:L].[L:F]$ a popis bázy dvojnásobného rozšírenia. Ukážka výpočtu stupňa rozšírenia a minimálneho polynómu pre $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)=\mathbb Q(\sqrt2+\sqrt3)$.

Rozkladové polia. Túto tému som už nestihol. (Nebudem ju ani skúšať.) Základná informácia v poslednej kapitole je: Pre každé $q=p^n$ existuje (až na izomorfizmus jediné) pole s $q$ prvkami a je to rozkladové pole polynómu $x^q-x$ nad $\mathbb Z_p$. (Teda vlastne máme kompletný popis konečných polí.)
Pre ľudí, čo si to budú chcieť pozrieť samostatne: Časť o tom, že existuje $q$-prvkové pole by mala byť ľahšia. (Jedna vec, ktorá sa tam využíva a preskočili sme ju na prednáške, je dôkaz rovnosti $(a+b)^p=a^p+b^p$ v poli charakteristiky $p$, čo je v podstate iba binomická veta a overenie, že $p\mid\binom pk$ pre $0<k<p$. Druhá je popis polynómov, ktoré nemajú násobné korene, pomocou derivácie. Tú tiež nie je ťažké dokázať.) V dôkaze jednoznačnosti sa odvolávam na viacero viet, ktorých dôkaz som na prednáške preskočil. Ale keď si aj povedzme nepozriete ich dôkazy, tak tie vety sú vcelku uveriteľné. (V tom zmysle, že hovoria niečo také ako napríklad: Ak mám dve izomorfné polia a v nich mám koreň "toho istého" ireducibilného polynómu - pod "toho istého" sa rozumie, že koeficienty som zobrazil príslušný izomorfizmus - tak dostanem izomorfné rozšírenia, ak pridám takýto koreň. Takto sformulované to vyzerá, že by to malo platiť - veď predsa izomorfné je "v podstate to isté". Keď to človek chce dokázať poriadne, tak treba spraviť aj nejaké technické detaily.) Čiže dôkaz jednoznačnosti sa dá čítať aj tak, že niektorým častiam dôkazu iba uveríte, resp. si skúsite premyslieť, čo to vlastne hovorí, a ak vám bude jasné, čo spomínané vety hovoria, tak technické detaily dôkazu možno nie sú až také veľmi dôležité.)