Re: Úlohy LS 2013/14
Posted: Fri May 16, 2014 3:48 pm
Ak v niektorých úlohách budete potrebovať použiť Hornerovu schému, nemusíte ju sem prepisovať. (Dosť zle sa to TeXuje.)
Stačí jednoducho napísať to, ktoré čísla ste skúšali dosadzovať do Hornerovej schémy a čo vám vyšlo. (Výpočet by si mal byť každý schopný overiť už aj sám.)
Úloha 9.1. Rozložte na ireducibilné polynómy nad $\mathbb C$, nad $\mathbb R$, nad $\mathbb Q$ polynóm: $x^3+2x^2+2x+4$.
Úloha 9.2. Dokážte, že $x^2+x+1\mid x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ v $\mathbb C[x]$.
Úloha 9.3. Nájdite všetky ireducibilné polynómy nad $\mathbb Z_2$ stupňov 2,3,4.
Úloha 9.4. Nájdite rozklad $f(x)=4x^4+3x^3+4x^2+4x+6$ na ireducibilné polynómy v $\mathbb Z_7[x]$
Úloha 9.5. Nájdite rozklad $f(x)$ na ireducibilné polynómy v $F[x]$.
a) $f(x)=x^4-1$, $F=\mathbb Z_{11}$
b) $f(x)=x^4-1$, $F=\mathbb Z_{13}$
Úloha 9.6.* Nech $f(x)\in\mathbb Z[x]$ je polynóm sceločíselnými koeficientami. Dokážte, že ak $a+b\sqrt 3$ je koreň $f(x)$, tak aj $a-b\sqrt 3$ je koreň $f(x)$.
Úloha 9.7. Dokážte, že každý nenulový polynóm stupňa 3 nad poľom $\mathbb R$ má reálny koreň. (V tejto úlohe máte povolené používať veci, ktoré sme si od $\mathbb C$ povedali bez dôkazu. Alebo môžete použiť dôkaz založený na tom, čo viete z analýzy - potom sa na žiadne nedokázané veci odvolávať nebudete musieť.)
Úloha 9.8 Dokážte, že polynóm $f(x)=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}\in\mathbb C[x]$ nemá viacnásobný koreň. (Tu sa môže hodiť veta 4.5.31 z textu k prednáške, ktorá hovorí, že polyńóm má násobný koreň práve vtedy, ak polynóm a jeho derivácia sú súdeliteľné.)
Stačí jednoducho napísať to, ktoré čísla ste skúšali dosadzovať do Hornerovej schémy a čo vám vyšlo. (Výpočet by si mal byť každý schopný overiť už aj sám.)
Úloha 9.1. Rozložte na ireducibilné polynómy nad $\mathbb C$, nad $\mathbb R$, nad $\mathbb Q$ polynóm: $x^3+2x^2+2x+4$.
Úloha 9.2. Dokážte, že $x^2+x+1\mid x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ v $\mathbb C[x]$.
Úloha 9.3. Nájdite všetky ireducibilné polynómy nad $\mathbb Z_2$ stupňov 2,3,4.
Úloha 9.4. Nájdite rozklad $f(x)=4x^4+3x^3+4x^2+4x+6$ na ireducibilné polynómy v $\mathbb Z_7[x]$
Úloha 9.5. Nájdite rozklad $f(x)$ na ireducibilné polynómy v $F[x]$.
a) $f(x)=x^4-1$, $F=\mathbb Z_{11}$
b) $f(x)=x^4-1$, $F=\mathbb Z_{13}$
Úloha 9.6.* Nech $f(x)\in\mathbb Z[x]$ je polynóm sceločíselnými koeficientami. Dokážte, že ak $a+b\sqrt 3$ je koreň $f(x)$, tak aj $a-b\sqrt 3$ je koreň $f(x)$.
Úloha 9.7. Dokážte, že každý nenulový polynóm stupňa 3 nad poľom $\mathbb R$ má reálny koreň. (V tejto úlohe máte povolené používať veci, ktoré sme si od $\mathbb C$ povedali bez dôkazu. Alebo môžete použiť dôkaz založený na tom, čo viete z analýzy - potom sa na žiadne nedokázané veci odvolávať nebudete musieť.)
Úloha 9.8 Dokážte, že polynóm $f(x)=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}\in\mathbb C[x]$ nemá viacnásobný koreň. (Tu sa môže hodiť veta 4.5.31 z textu k prednáške, ktorá hovorí, že polyńóm má násobný koreň práve vtedy, ak polynóm a jeho derivácia sú súdeliteľné.)