Prednášky ZS 2012/13

[Martin Sleziak]

9.prednáška (19.11)

Nehomogénne sústavy. Veľmi stručne sme si povedali ako sa riešia (viac sa tomu budete venovať na cviku). Ukázali sme, že pre ľubovoľnú maticu platí $h(A)=h(A^T)$. Dokázali sme Frobeniovu vetu a ukázali sme si vzťah medzi riešeniami nehomogénnej sústavy a riešeniami homogénnej sústavy.

Jadro a obraz lineárneho zobrazenia. Jadro a obraz sú podpriestory. Obraz sa dá vyjadriť ako $\operatorname{Im} f=[f(\vec\alpha_1),\dots,f(\vec\alpha_n)]$. Lineárne zobrazenie je lineárne práve vtedy, keď $\operatorname{Ker} f=\{\vec0\}$. Pre zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $d(V)=d(\operatorname{Ker}f)+d(\operatorname{Im}f)$.

(V poznámkach máte aj ďalšie dôkazy toho, že $h(A)=h(A^T)$, ktoré sme na prednáške nerobili. Samozrejme, môže byť užitočné pozrieť si ich - ak budete vidieť tú istú vec spravenú viac spôsobmi, môžete jej lepšie porozumieť.)

Skalárny súčin. Stihli sme iba definíciu a dva príklady. (Jeden z nich bol štandardný skalárny súsčin.)

[Martin Sleziak]

10.prednáška (26.11)

Skalárny súčin. Zopakovali sme definíciu a ukázali sme si aspoň jeden príklad pre nekonečnorozmerný priestor. Zadefinovali sme veľkosť vektora a ukázali základné vlastnosti (Cauchy-Schwarzova nerovnosť, trojuholníková nerovnosť). Zadefinovali sme uhol vektora a to, kedy sú vektory kolmé (ortogonálne).

Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces. Každý konečnorozmerný euklidovský vektorový priestor má ortonormálnu bázu. Ukázali sme si (aj na príkladoch), ako sa dá zostrojiť zo zadanej bázy.

Ortogonálny doplnok. Definícia a základné vlastnosti.

Pre istotu pripomeniem, že aj ak sa nestihnú také príklady prejsť na cviku, na skúšku by ste mali vedieť spraviť nejaké základné veci o skalárnych súčinoch. Jeden príklad na výpočet ortonormálnej bázy máte v poznámkach na webe; zopár príkladov je vyriešených na fóre, pozri napríklad tu, tu a tu.

[Martin Sleziak]

11.prednáška (3.12)

Skalárny súčin. Dokázali sme, že v konečnorozmených priestoroch platí $S\oplus S^\bot=V$; $(S^{\bot})^{\bot}=S$ a $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$. (V poznámkach je aj kontrapríkladukazujúci, že v nekonečnorozmerných priestoroch to neplatí - ten sme ale na prednáške nerobili.) Ešte sme si stručne povedali o tom, že existencia ortonormálnej bázy znamená, že každý euklidovský vektorový priestor "v podstate" (pri voľbe vhodnej bázy) vyzerá ako $\mathbb R^n$ so štandardným skalárnym súčinom.

Determinanty. Motivácia - riešenie sústavy, plocha rovnobežníka, objem rovnobežnostena. Definícia determinantu a determinant matice $2\times2$ a $3\times3$. Ukázali sme, že platí $|A|=|A^T|$. Laplaceov rozvoj - zadefinovali sme algebrický doplnok, vyslovili sme vetu o tom, ako sa dá vyrátať (a stihli sme už aj väčšiu časť dôkazu).

[Martin Sleziak]

12. prednáška (10.12)
Determinanty. Dokončili sme dôkaz vety o Laplaceovom rozvoji. Ukázali sme si, ako ovplyvňujú riadkové/stĺpcové operácie determinant a ako vyzerá determinant hornej trojuholníkovej matice. Dokázali sme, že $|A\cdot B|=|A|\cdot|B|$, t.j. determinant súčinu matíc je súčin determinantov.