msleziak.com

Úloha 8.1. Nájdite Jordanov normálny tvar danej matice. Nájdite aj maticu prechodu a zapíšte príslušnú maticovú rovnosť.
$\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
-4 & 4 & 0 \\
-2 & 1 & 2
\end{pmatrix}$

Úloha 8.2 Nájdite Jordanov tvar pre maticu
$A=\begin{pmatrix}
3 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 5 & -3 \\
4 & -1 & 3 & -1
\end{pmatrix}$

Momentálny stav bodov:
4 Kovács P.
3 Mikušovský A.
2 Koľbík F.
2 Rabatin R.
1 Gafurov A.

Fibonacciho čísla

Zopakovanie vecí, čo sme odvodili na prednáške a cviku:

Pracovali sme s maticou $A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 0\end{pmatrix}$. Vieme o nej, že $A^2-A-I=0$. Používali sme, že
$$
\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=
A\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{pmatrix}
\\
A^n=
\begin{pmatrix}
F_{n+1} & F_n \\
F_n & F_{n-1}
\end{pmatrix}
$$

Odvodili sme:
$\sum_{k=1}^n F_k= F_{n+2}-1$
$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$ (Cassiniho identita)
$F_{m+n}=F_mF_{n+1}+F_{m-1}F_n$ (konvolučná vlastnosť)
$F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})$ a $F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_{n}^2$.
$\sum_{k=0}^nF_k^2=F_nF_{n+1}$

Nasleduje niekoľko úloh týkajúcich sa Fibonacciho čísel. Preferujem riešenia, ktoré budú využívať matice alebo už odvodené identity; ale môžete sa pochváliť aj inými riešeniami a dostať za ne body. Nebudem však dávať body za riešenia, ktoré sú priamym dosadením vzorca pre $F_n$ alebo indukciou. (Jedine ak by sa tam vyskytla nejaká veľmi pekná myšlienka.) Body za úlohu určite dostane prvé správne riešnie. Ak sa objavia ďalšie riešenia a budú mať nejakú peknú/originálnu myšlienku; tak tiež za ne možno bude bod.

Úloha 9.1. Ukážte, že $F_{n-1}F_{n+2}-F_nF_{n+1}=(-1)^n$. Vyskytuje sa táto identita nejako v "missing square puzzle"?

Úloha 9.2. Ukážte, že $F_{2n}=\sum_{k=0}^n{n \choose k}F_k$. (Hint k maticovému odvodeniu: Skúste využiť rovnosť $A^2=I+A$.) Keďže na cviku som povedal k tomuto príkladu aj návod, tak by som rád videl maticové odvodenie. (Aj ak nájdete okrem neho aj nejaké ďalšie riešenie.)

Úloha 9.3. Ukážte $F_n^4-F_{n+2}F_{n+1}F_{n-1}F_{n-2}=1$ pomocou matíc alebo pomocou niektorých už odvodených identít.

Úloha 9.4. Viete pomocou identity $F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$ ukázať, že postupnosť $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ musí konvergovať? Akú bude mať limitu?

Niektoré z týchto úloh súvisia s Jordanovým normálnym tvarom alebo sa dajú pomocou neho riešiť. Ak viete vymyslieť riešenie s Jordanovým tvarom aj bez neho, oplatí sa pozrieť na to, či vám veta o Jordanovom tvare nejako zjednodušila život. Hoci sme vetu o Jordanovom tvare nedokázali, v úlohách tejto série sa môže používať.

Úloha 10.1. Ukážte, že každá matica $2\times 2$ nad $\mathbb C$, pre ktorú platí $A^2=0$, musí byť podobná s $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ alebo $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. (Všimnite si, že tým sme vlastne nejako popísali všetky matice spĺňajúce $A^2=0$, konkrétne ako matice tvaru $PJP^{-1}$, kde $P$ je regulárna matica a $J$ má niektorý z uvedených dvoch tvarov.)

Úloha 10.2. Existuje matica $A\ne I$ typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb C$ taká, že $A^3=I$? Vedeli by ste nejako popísať všetky také matice? Vedeli by ste nájsť aj nejakú maticu, v~ktorej všetky hodnoty budú reálne? (Hint k jednému možnému riešeniu poslednej časti: Skúste sa zamyslieť nad tým, čo uvedená rovnosť hovorí o lineárnom zobrazení zodpovedajúcom matici $A$. Iný možný hint: Ak by sme našli maticu s charakteristickýcm polynómom $x^2+x+1=0$, tak táto matica bude určite spĺňať $A^3=I$ na základe Cayley-Hamiltonovej vety. Ďalší hint: Ak máte nejaký iný nápad, nedajte sa mýliť predošlými dvoma hintami.)

Úloha 10.3. Pre maticu $A$ definujeme $e^A=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\dots$ (ak uvedený rad koverguje).
Vypočítajte $e^A$ a $e^B$ ak $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ a $B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$. Overte, či platí $e^Ae^B=e^Be^A$.
(Ako si môžete prečítať napríklad na Wikipedii, uvedená rovnosť by mala platiť v prípade $AB=BA$. Exponenciálna funkcia na maticiach je užitočná napríklad v súvislosti s diferenciálnymi rovnicami a sústavami diferenciálnych rovníc.)

Úloha 11.1. Vyjadriť pomocou základných symetrických polynómov:
$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_2+x_3)$.

Úloha 11.2. Vyjadriť pomocou základných symetrických polynómov:
a) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$
b) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^3+x_2^3+x_3^3$

Úloha 11.3.${}^*$
Nájdite (v $\mathbb C$) riešenia sústavy rovníc
$$\begin{align*}
x + y + z &= 4\\
x^2 + y^2 + z^2 &= 4\\
x^3 + y^3 + z^3 &= 4
\end{align*}$$
(Môžu sa vám hodiť nejaké veci, ktoré ste už vyrátali v úlohe 11.2 a Vietove vzťahy.)

Momentálny stav bodov:
5 Kovács P.
4 Mikušovský A.
3 Rabatin R.
2 Koľbík F.
1 Gafurov A.

Ako sme sa dohodli tu viewtopic.php?f=34&t=689 už sú v subfóre pre Algebru 3 zobrazené aj riešenia z minulých rokov.
Znamená to, že ak ešte chcete skúsiť na fóre vyriešiť za body niektorú z úloh zadaných v tomto vlákne, tak sa treba najprv pozrieť na to, či už nie je vyriešená v tých starých úlohách. (Znamená to nejakú robotu navyše, ale snáď to nie je až také tragické. Z názvov topicov by sa malo dať zhruba vidieť, do akej témy riešenie patrí, čiže nebudete reálne musieť prezerať všetky staré riešenia, iba riešenia týkajúce sa témy, ktorá vás zaujíma.)