Úlohy ZS 2015/16

[Martin Sleziak]

Úloha 6.1. Zistite, či dané vektory tvoria bázu v priestore $\mathbb Z_5^3$:
a) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,3)$
b) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$
c) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$, $(1,3,1)$
d) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$

Úloha 6.2. Ukážte, že polynómy stupňa najviac 3 tvoria podpriestor priestoru všetkých funkcií z $\mathbb R$ do $\mathbb R$. Tvoria polynómy $1+x$, $x+x^2$, $x^3-1$, $x^3+x$ bázu tohoto priestoru?

Úloha 6.3. Ak sa to dá, doplňte vektory $(1,3,1,0)$, $(2,1,3,1)$ na bázu priestoru $\mathbb Z_5^4$. (Poznámka: Neskôr sa naučíme úlohy takéhoto typu riešiť jednoduchšie, ale táto úloha je riešiteľná už aj pomocou tých vecí, ktoré sme sa učili doteraz.)

Úloha 6.4. Overte, že $M=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4; x+y+z+w=0, x-y+z-w=0\}$ tvorí podpriestor priestoru $\mathbb R^4$. Nájdite nejakú bázu tohoto podpriestoru.

[Martin Sleziak]

Úloha 7.1. Dokážte (iba použitím definície lineárneho zobrazenia), že zobrazenie $f\colon V\to W$ (kde $V$, $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ je lineárne práve vtedy, keď pre ľubovoľné $c\in F$, $\vec\alpha,\vec\beta\in V$ platí $f(c\vec\alpha+\vec\beta)=cf(\vec\alpha)+f(\vec\beta)$.

Úloha 7.2. Ukážte, že množina symetrických matíc typu $n\times n$ nad poľom $F$ tvorí podpriestor vektorového priestoru $M_{n,n}(F)$.

Úloha 7.3. Zistite, aká je hodnosť danej matice v~závislosti od parametra $c\in\mathbb R$:
a) $\begin{pmatrix}2&c+1&0\\2&c+1&2+2c\\c&-c&-c\end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix}2c+1&c&-c-1\\1&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$

Úloha 7.4. Zistite, či nasledujúce matice tvoria bázu vektorového priestoru všetkých matíc
typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb R$:
$\left(\begin{smallmatrix}
1 & 2 \\
0 & 4
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
2 & 3 \\
5 & 0
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
3 & 0 \\
1 & 2
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
0 & 5 \\
4 & 2
\end{smallmatrix}\right)$

Úloha 7.5. Ak je to možné, doplňte zadané vektory na bázu priestoru $(\mathbb Z_7)^4$. Uveďte aj stručné zdôvodnenie, prečo práve s vektormi, ktoré dostanete ako výsledok, tvoria zadané vektory bázu.
a) $(1,2,1,0)$, $(1,2,3,3)$, $(2,1,2,3)$
b) $(1,2,5,3)$, $(3,1,5,4)$, $(3,4,4,0)$

Úloha 7.6.*
Určite hodnosť matice:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
a_1 & a_2 & \ldots & a_n & a_{n+1} \\
a_1^2 & a_2^2 &\ldots & a_n^2 & a_{n+1}^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_1^n & a_2^n &\ldots & a_n^n & a_{n+1}^n
\end{pmatrix}
$$
ak viete, že $a_1, \ldots, a_{n+1}$ sú navzájom rôzne reálne čísla
(t.j. $a_i\neq a_j$ pre všetky $i\neq j$).

Pri riešení tejto úlohy môžete použiť fakt, že elementárne stĺpcové operácie nemenia hodnosť, resp. to, že $h(A)=h(A^T)$. (Tento fakt dokážeme neskôr.) Ale mala by sa dať vyriešiť aj bez použitia tejto veci.

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
5 Adrián Matejov
3 Eduard Batmendijn
3 Adrián Goga
2 Matej Králik
1 Lukáš Kiss
(Pre istotu pripomeniem, že za riešenie úloh na fóre sa dá získať maximálne 5 bodov.)

[Martin Sleziak]

Úloha 8.1. Nech $V$ a $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ a $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie. Dokážte: Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ sú lineárne závislé vektory, tak aj $f(\vec\alpha_1), \ldots, f(\vec\alpha_n)$ sú lineárne závislé vektory.

Úloha 8.2. Nech $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte:
Ak $S$ je podpriestor priestoru $V$, tak $f[S]= \{f(\vec\alpha); \vec\alpha\in S\}$ je podpriestor priestoru $W$.
(Takto definovaná množina $f[S]$ sa nazýva obraz množiny $S$. Uvedené tvrdenie možno teda stručne sformulovať takto: Obraz podpriestoru je podpriestor.)
Čo dostaneme na základe tohoto výsledku pre $S=\{\vec0\}$? Čo dostaneme pre $S=V$?

Úloha 8.3. Nech $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte:
Ak $T$ je podpriestor priestoru $W$, tak $f^{-1}[T]= \{\vec\alpha\in V: f(\vec\alpha)\in T\}$ je podpriestor priestoru $V$.
(Množina $f^{-1}[T]$ definovaná uvedeným spôsobom sa nazýva vzor množiny $T$. Teda stručne môžeme povedať, že toto tvrdenie hovorí: Vzor podpriestoru je podpriestor.)
Čo dostaneme na základe tohoto výsledku pre $T=\{\vec0\}$? Čo dostaneme pre $T=W$?

[Martin Sleziak]

Úloha 9.1. Nech $f\colon U\to V$, $g,h \colon V\to W$ sú lineárne zobrazenia. Súčet lineárnych zobrazení definujeme ako $(g+h)(\vec\alpha)=g(\vec\alpha)+h(\vec\alpha)$. Vcelku ľahko sa dá ukázať, že súčet lineárnych zobrazení je lineárne zobrazenie. Dokážte, že platí $(g+h)\circ f=g\circ f+h\circ f$. Čo tento výsledok hovorí o násobení matíc?

Úloha 9.2. $\newcommand{\Tra}{\operatorname{Tr}}$Pre štvorcovú maticu $C$ typu $n\times n$ budeme výraz $\Tra(C)=\sum_{k=1}^n c_{nn}$ nazývať stopa matice $C$. (T.j. stopa matice je súčet prvkov, ktoré sú na diagonále.)
Ukážte, že ak $A$, $B$ sú matice typu $n\times n$ nad poľom $F$, tak platia rovnosti $\Tra(A)=\Tra(A)^T$ a $\Tra(AB)=\Tra(BA)$.

Úloha 9.3. Nech $C=AB$, kde $A$, $B$ sú matice. Musí potom platiť $V_C\subseteq V_A$? Musí platiť $V_C\subseteq V_B$? Musí platiť $V_A\subseteq V_C$, $V_B\subseteq V_C$? (Svoje tvrdenie zdôvodnite, t.j. dokážte, alebo nájdite kontrapríklad.)

Úloha 9.4. Nech $A$, $B$ sú matice nad poľom $F$ typu $m\times n$ resp. $n\times k$. Dokážte, že $h(AB)\leq h(A)$. Dokážte, že ak $n=k$ a $B$ je regulárna, tak $h(AB)=h(A)$.

Úloha 9.5. Nájdite maticu zobrazenia $f\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^4$, ktoré spĺňa dané podmienky (alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje):
$f(1,2,3)=(-2,3,1,3)$, $f(-3,1,-2)=(-1,-2,-10,-2)$, $f(1,1,2)=(-1,2,2,2)$ a $f$ je injektívne.

Úloha 9.6. Nájdite maticu zobrazenia $f\colon \mathbb R^4\to\mathbb R^3$, ktoré spĺňa dané podmienky (alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje):
$f(1,2,3,-4)=(2,5,0)$, $f(3,1,4,1)=(0,1,3)$, $f(1,2,3,-4)=(2,5,0)$ a $f$ je surjektívne.

Úloha 9.7.
a) Nech $A$, $B$ sú matice (nad tým istým poľom) takých rozmerov, že sa dajú násobiť. Dokážte, že $(AB)^T=B^TA^T$.
b) Dokážte: Ak $A$ je symetrická matica, tak aj $A^n$ je symetrická matica pre každé $n\in\mathbb N$.

[Martin Sleziak]

Úloha 10.1. Nájdite homogénnu sústavu rovníc nad $\mathbb R$, ktorej množina riešení je podpriestor $S=[(1,1,1,-1),(2,3,-1,-6),(3,4,0,-7)]$ priestoru $\mathbb R^4$.

Úloha 10.2. Nájdite homogénnu sústavu rovníc nad $\mathbb R$, ktorej množina riešení je podpriestor $S=[(1,-1,-1,-1),(4,1,-1,0),(-2,1,2,3)]$ priestoru $\mathbb R^4$.

Úloha 10.3. Koľko existuje lineárnych zobrazení $f\colon\mathbb Z_5^3\to\mathbb Z_5^4$ takých, že $f(1,1,2)=(3,1,1,4)$, $f(1,3,4)=(0,1,1,1)$ a $f(2,1,3)=(0,2,2,2)$? Koľko z nich je injektívnych? Koľko z nich je surjektívnych?

Úloha 10.4. Koľko existuje lineárnych zobrazení $f\colon\mathbb Z_5^4\to\mathbb Z_5^3$ takých, že $f(1,1,3,1)=(1,4,1,2)$, $f(1,2,0,1)=(1,0,2,3)$, $f(2,3,3,2)=(2,4,3,0)$? Koľko z nich je injektívnych? Koľko z nich je surjektívnych?

Úloha 10.5.
Definujme lineárne zobrazenie $f \colon \mathbb R^4 \to \mathbb R^2$ ako $f(x_1, x_2, x_3, x_4) = (3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4, 2x_1 + 4x_2 + x_3 - x_4)$ a označme $U_1=\operatorname{Ker} f$.

Ďalej definujme lineárne zobrazenie $g \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^4$ ako $g(y_1, y_2) = (y_1 - y_2, y_1 - 3y_2, 2y_1 - 8y_2, 3y_1 - 27y_2)$ a označme $U_2=\operatorname{Im} g$.

Vidíme, že $U_1$ aj $U_2$ sú podpriestory $\mathbb R^4$.

Nájdite bázy priestorov $U_1$, $U_2$, $U_1 \cap U_2$ a $U_1 + U_2$.

[Martin Sleziak]

Úloha 11.1.*
$
\begin{vmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & \ldots & a_1^n \\
1 & a_2 & a_2^2 & \ldots & a_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_n & a_n^2 & \ldots & a_n^n \\
1 & a_{n+1} & a_{n+1}^2 & \ldots & a_{n+1}^n
\end{vmatrix}=?
$
(Výsledok by mal byť $\prod\limits_{1\le i<j\le n+1} (a_j-a_i)$, t.j. súčin výrazov tvaru $a_j-a_i$ pre všetky $i<j$.)

Úloha 11.2. Vypočítajte determinant matice
$\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{vmatrix}$
Viete na základe výsledku povedať niečo o hodnosti tejto matice aspoň pre niektoré hodnoty parametra $c\in\mathbb R$?

Úloha 11.3.
$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
1 & 2 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & 3 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \ldots & 1 & n
\end{vmatrix}
=?$

Úloha 11.4.
$D_n=
\begin{vmatrix}
n & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & n & 1 & \ldots & 1 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
1 & \ldots & 1 & 1 & n
\end{vmatrix}
=?$

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
5 Adrián Matejov
5 Marek Fedák
3 Eduard Batmendijn
3 Adrián Goga
2 Matej Králik
1 Lukáš Kiss
1 Filip Sulík
(Pre istotu pripomeniem, že za riešenie úloh na fóre sa dá získať maximálne 5 bodov.)

[Martin Sleziak]

Úlohy na fórum som dával s dvoma cieľmi. Jeden z nich bola možnosť získať body navyše. Druhý je, aby ste tu mali nejaké príklady a mohli sa pozrieť ako sa dali riešiť.

Ak ste si čítali riešenia, tak ste si možno všimli, že som niekde pridal linky na staršie riešenia vašich kolegov - rovnaké úlohy som už kedysi použil.

Spoiler:

Som si vedomý toho, že toto asi nie je úplne ideálny systém. Ale na niektoré témy sa nedá vymyslieť príliš veľa rôznych typov úloh. Resp. ak by som chcel vymýšľať ďalšie, musel by som zvyšovať náročnosť. Čiže ak by som tu nechal tie riešenia starších úloh, tak by som sa dostal do situácie, že by ste riešili veľmi podobné úlohy len s inými číslami. A mali by ste zverejnené ako ukážku nejaké riešenia. Takýto systém sa mi nezdal príliš zmysluplný - zdalo sa mi lepšie, ak o tých úlohách porozmýšľate samostatne, bez toho, aby ste priamo tu mali vyriešenú nejakú veľmi podobnú úlohu.

Dohodnime sa, že body za riešenie úloh na fóre sa dajú získavať do konca prvého týždňa skúškového. (T.j. rovnaký deadline ako na domáce úlohy.) Potom sem presuniem aj ostatné staršie riešenia, ktoré sú zatiaľ skryté. (Pre tie úlohy, čo už boli vyriešené tento semester a existovalo k nim aj staršie riešenie, som staršie riešenia už odkryl.)

Neviem, či ešte aj potom budú záujemcovia o zisk bodov za riešenie úloh. Ak áno, stále sa budú dať získať body za úlohy, ktoré zatiaľ nemajú zverejnené riešenie. (Len skontrolovať, ktoré úlohy nie sú vyriešené, bude nejaká netriviálna námaha - bude sa treba pozrieť na staršie príspevky na fóre a tiež si dať pozor na to, že číslovanie tých starších úloh nie je úplne totožné.)

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
5 Adrián Matejov
5 Marek Fedák
4 Adrián Goga
3 Eduard Batmendijn
3 Truc Lam Bui
2 Matej Králik
1 Lukáš Kiss
1 Filip Sulík
(Pre istotu pripomeniem, že za riešenie úloh na fóre sa dá získať maximálne 5 bodov.)