10. prednáška (3.12.)
Inverzná matica. inverzné zobrazenie k lineárnemu zobrazeniu je tiež lineárne. Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie injektívne, surjektívne, bijektívne. Definícia inverznej matice. K matici A existuje inverzná práve vtedy, keď A je regulárna matica.
Izomorfizmus vektorových priestorov. Zadefinovali sme pojem izomorfizmu vektorových priestorov a ukázali sme, že každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$ pre nejaké $n$.
Sústavy lineárnych rovníc. Zadefinovali sme základné pojmy a ukázali si maticový zápis sústavy. Množina riešení sa nemení pri elementárnych riadkových operáciách. Množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor. Zatiaľ som iba povedal, že dimenzia tohoto podpriestoru je rovná $n-h(A)$; dôkaz bude nabudúce.
Chvíľu som hovoril niečo o tom, že izomorfizmus vlastne hovorí o tom, že dva priestory sú "v podstate rovnaké".
Niečo podobné si môžete prečítať tu: viewtopic.php?f=29&t=495
(Izomorfizmus sme pre grupy nedefinovali; ale princíp je podobný.)
Prednášky ZS 2015/16
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, Nina Hronkovičová, bpokorna, davidwilsch, jaroslav.gurican, makovnik
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2015/16
11. prednáška (10.12.)
Homogénne sústavy. Ukázali sme si, ako vyzerá báza priestoru riešení a tiež to, že jeho dimenzia je $n-h(A)$. (Nerobil som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy. Nebudem ju ani skúšať.)
Nehomogénne sústavy. Dokázali sme, že $h(A)=h(A^T)$. Dokázali sme Frobeniovu vetu a vetu o súvise riešení homogénnej a nehomogénnej sústavy.
Jadro a obraz. Zadefinovali sme jadro a obraz, spomenuli základné vlastnosti. Dokázali sme vetu o dimenzii jadra a obrazu. (Na prednáške som nerobil dôkazy tvrdení 5.8.2 a 5.8.3, ktoré sú však pomerne ľahké, takže si myslím, že ich zvládnete aj samostatne.)
Homogénne sústavy. Ukázali sme si, ako vyzerá báza priestoru riešení a tiež to, že jeho dimenzia je $n-h(A)$. (Nerobil som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy. Nebudem ju ani skúšať.)
Nehomogénne sústavy. Dokázali sme, že $h(A)=h(A^T)$. Dokázali sme Frobeniovu vetu a vetu o súvise riešení homogénnej a nehomogénnej sústavy.
Jadro a obraz. Zadefinovali sme jadro a obraz, spomenuli základné vlastnosti. Dokázali sme vetu o dimenzii jadra a obrazu. (Na prednáške som nerobil dôkazy tvrdení 5.8.2 a 5.8.3, ktoré sú však pomerne ľahké, takže si myslím, že ich zvládnete aj samostatne.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2015/16
12. prednáška (15.12.):
Determinanty. Definícia determinantu, Sarrusovo pravdilo, $|A|=|A^T|$ a Laplaceov rozvoj.
Dohodli sme sa, že:
* Z tejto kapitoly máte vedieť všetky tvrdenia (aj tie, ktoré som neodprednášal).
* Dôkazy z tejto kapitoly, ktoré som nestihol odprednášať, nebudem ani skúšať.
Na stránku som dal súbor obsahujúci nejaký veľmi stručný prehľad základných faktov o determinantoch a aj niekoľko riešených príkladov.
Determinanty. Definícia determinantu, Sarrusovo pravdilo, $|A|=|A^T|$ a Laplaceov rozvoj.
Dohodli sme sa, že:
* Z tejto kapitoly máte vedieť všetky tvrdenia (aj tie, ktoré som neodprednášal).
* Dôkazy z tejto kapitoly, ktoré som nestihol odprednášať, nebudem ani skúšať.
Na stránku som dal súbor obsahujúci nejaký veľmi stručný prehľad základných faktov o determinantoch a aj niekoľko riešených príkladov.