msleziak.com

Regulárne matice

Vieme ocharakterizovať matice, ktoré zobrazia každú konvergentnú postupnosť na konvergentnú (konzervatívne), každú ohraničenú na konvergentnú (koercívne), konvergentnú na konvergentnú a nezmenia limitu (regulárne).

1. Ako by sa zmenili podmienky, keby sme niekde pridali ideál (t.j. pýtali sa na I-konvergentné či I-ohraničené postupnosti)?

2. Pojmy konzervatívnosti a koercívnosti budú dávať zmysel aj pre ľubovoľný lineárny funkcionál $\ell_\infty\to\ell_\infty$. Sú aj takéto veci študované? Sú známe ich charakterizácie?

Na seminári sme videli dôkaz Steinhausovej vety pre $\mathbb R^n$ a obvyklú Lebesguovu mieru. Rovnaký dôkaz prejde pre Haarovu mieru na ľubovoľnej lokálne kompaktnej Hausdorffovskej topologickej grupe.

Padla otázka, či by to fungovalo na $\ell_2$ (čo sa zdá byť - v istom zmysle - nekonečnorozmerný lineárny normovaný priestor, ktorý je najbližšie k obvyklému priestoru $\mathbb R^n$). Toto vlastne v sebe zahŕňa dve otázky:

• Dá sa na $\ell_2$ zadefinovať nejaká prirodzená miera? (Prinajmenšom by sme určite chceli, aby bola translačne invariantná. V dôkaze sa využívala regularita miery, s tou to možno bude v nekonečnorozmere ťažšie, keďže tam máme málo kompaktov.)
• Ak už budeme mať nejakú mieru na $\ell_2$, tak sa potom môžeme pýtať, či pre ňu platí Steinhausova veta. (Či sa dá zopakovať dôkaz, ktorý sme videli v konečnorozmernom prípade, alebo ak nie, či sa to dá dokázať nejako inak.)

Viac-menej kanonický príklad ideálu, ktorý nie je P-ideálom, sme dostali rozkladom $\mathbb N$ na spočítateľne veľa disjunktných nekonečných podmnožín a potom sme predpísali, aké môžu byť prieniky s týmito podmnožinami.
Dal by sa dostať nejaké zaujímavé ideály, ak by sme začali s nejakým systémom skoro disjunktných množín?

Keď sme čítali o indukcii v kontinuu, tak sme videli, že sa tento typ indukcie dá relatívne bez problémov zovšeobecniť na lineárne usporiadané množiny, ktoré sú Dedekindovsky úplné (niekedy sa im hovorí aj spojito usporiadané).

Padla otázka, či by niečo podobné fungovalo na čiastočne usporiadaných množinách spĺňajúcich nejaké rozumné podmienky. A ak áno, tak či by to malo nejaké rozumné aplikácie.

Zrejme nie sme prví, kto sa takúto vec opýtal. Napríklad tu sa ju pýta práve autor toho textu, ktorý čítame: A principle of mathematical induction for partially ordered sets with infima?
Pri zbežnom pohľade na odpovede sa zdá, že nejaké relatívne prirodzene vyzerajúce zovšeobecnenie platí práve v tých čiastočne usporiadaných množínách, ktoré sú úplnými zväzmi. (To samozrejme neznamená, že nemá zmysel skúšať sa zamýšľať aj nad inými možnosťami, ako by sa to dalo zovšeobecniť.)

Dala by sa indukcia v kontinuu použiť na dôkaz Banachovej vety o pevnom bode? (Presnejšie povedané, na dôkaz špeciálneho prípadu, keď pracujeme na intervale resp. na $\mathbb R$, nie na ľubovoľnom úplnom metrickom priestore.)

Na jednom zo seminárov sme sa zaoberali otázkou, aký má Newtonov integrál vzťah k iným integrálom. T.j. keď ho porovnávame s Lebsguovým alebo Kurzweil-Henstockovým integrálom, ktoré z nich sú a ktoré nie sú zovšeobecnením? Ako to bude pre ohraničené funkcie? Vieme nájsť kontrapríklad ukazujúce, kde neplatia inklúzie?

Otvoril som na túto tému samostatný topic: viewtopic.php?t=1167

O viacerých funkciách vieme povedať z nejakých všeobecných viet, že sú Perronovsky integrovateľné. (Zmeníme nejakú relatívne peknú funkciu v jednom bode, vezmeme si funkciu ktorá je skoro všade nulová - napríklad Dirichletovu, vezmeme si nejakú deriváciu, ktorá je "škaredá", napríklad deriváciu funkcie $x\mapsto x^2\sin\frac1{x^2}$ a podobne.) Vedeli by sme aj explicitne napísať hornú a dolnú funkciu? (Na toto sa dnes pýtal V.B.)

Ďalšia prirodzená otázka v súvislosti s Perronovým a Kurzweil-Henstockovým integrálom je ukázať, že tieto dva integrály sú ekvivalentné. (Toto sme už viackrát videli spomenuté, ale nemali sme dôkaz. Ale je dosť pravdepodobné že ak by sme v štúdiu tejto témy ešte pokračovali, tak v niektorej knihe na to časom narazíme.)

Na dnešnom seminári sa objavili dve otázky v súvislosti s dôkazom Theorem 22.9 vo Van Rooij, Schikhof.

Jedna otázka bola, či by sa dôkaz existencie hornej funkcie nejako zjednodušil, ak by sme ho robili indukciou v kontinuu.

Táto veta nám vlastne hovorí, že nič nové nedostaneme, ak by sme skúšali robiť nevlastný integrál z Perronovho integrálu ako $$\int_a^b\, dx=\lim_{c\to b^-} \int_a^cf(x)\, dx.$$
V tejto knihe sme s Perronovým integrálom vždy robili by na uzavretom ohraničenom intervale.

Ako by to bolo pre:
$$\int_a^{\infty}\, dx=\lim_{c\to \infty} \int_a^cf(x)\, dx.$$
Dá sa tento integrál rozumne zaviesť pre neohraničené intervaly?

V dôkaze Theorem 22.9 sme pri dôkaze existencie limity $\lim\limits_{x\to b^-}u(x)$ použili niečo, čo by sa dalo nazvať "Cauchy-Bolzanova podmienka pre funkcie".
Nebolo problém to urobiť na dva kroky - najprv využiť cauchyovskosť nejakej postupnosti a potom to rozšíriť na ostatné body. Aj tak je zaujímavá otázka, či sa takáto vec bežne vyskytuje v nejakých textoch z analýzy.

Veci súvisiace so zdola polospojitými submierami.

1. Mali sme príklad lsc submiery takej, že $\|\cdot\|_\varphi$ už nebola lsc. (Stačilo zobrať $\varphi(A)=|A|$.) Dá sa vymyslieť príklad, kde $\varphi$ bude nadobúdať iba konečné hodnoty? Dá sa vymyslieť príklad, kde $\varphi$ bude mať iba hodnoty z intervalu $[0,1]$? (Odpoveď je áno, kontrapríklad takéhoto typu sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=1215 )

2. Dá sa niečo povedať o zovšeobecnení pre Estrada-Kanwal v súvislosti s takýmito submierami a ideálmi.

3. Pre aké vlastnosti Erdős-Ulamových ideálov je dôležitá podmienka
$$\lim\limits_{k\to\infty} \frac{f(k)}{\sum_{i=1}^k f(i)},$$
ktorá sa vyskytla v ich definícii, z ktorej sme v tomto referáte najviac čerpali. (Keď sme sa pozerali na dôkaz toho, že tento ideál sa dá vyjadriť v tvare $\operatorname{Exh}(\varphi)$, tak sme si uvedomil že túto podmienku tam netreba. Z článku M. Mačaj, L. Mišík, T. Šalát, J. Tomanová: On a Class of Densities of Sets of Positive Integers vieme, že táto podmienka charakterizuje kedy má vážená hustota Darbouxovu vlastnosť.)