Úloha 5.2. $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2^2}$ sú lineárne nezávislé

[Martin Sleziak]

ak $b\ne0$, potom $a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{2^2}$ je racionalne ak $\sqrt[3]{2}$ je koren kvadratickeho polynomu nad $\mathbb Q$.

Prečo?

$\sqrt[3]{2}$ je koren $(x^3-2)$, co je neredukovatelne nad $\mathbb Q$.

Čo rozumiete pod pojmom "neredukovateľné"? Máte na mysli ireducibilný polynóm?
Prečo je $x^3-2$ ireducibilný nad $\mathbb Q$?

Toto priamo nesúvisí s touto úlohou, ale asi sa nevyhnem tomu, aby som to okomentoval.
V princípe nemám nič proti tomu, ak pri riešení nejakej úlohy skúsite hľadať pomoc na internete, v literatúre alebo u spolužiakov.
Dôležité je ale v takom prípade najmä to, aby ste riešenie, ktoré vám niekto vysvetlí alebo ho niekde nájdete, aj pochopili a vedeli vysvetliť.
O tom ste ma v tomto prípade nepresvedčili.

[Filip Sulik]

odpoved na vasu prvu otazku: pretoze ak je polynom nad $\mathbb{Q}$ su pochopitelne jeho koeficienty nad $\mathbb{Q}$ a keby bol koren daneho polynomu iny ako $\sqrt[3]{2}$ musel by byt koeficient polynomu nejaky nasobok $\sqrt[3]{2}$ a to by nebolo racionalne cislo a preto musi byt koren prave $\sqrt[3]{2}$.

odpoved na vasu druhu otazku: je ireducibilny nad $\mathbb{Q}$ pretoze uz sa neda rozlozit na jednoduchsie polynomy nad $\mathbb{Q}$, pretoze by sme dostali napr $\sqrt[3]{2}$ co nieje racionalne.

komentar: Ja by som nedaval ako odpoved nieco comu nerozumiem...mam pocit ze tomu rozumiem. Skopiroval som to od slova do slova, pretoze som myslel ze ked uz mi odpoved niekto poradil tak je jedno ci to je mojimi slovami, alebo nie. Redukovatelny bol moj volny preklad zo slova ireducible, dakujem uz budem vediet.

[Martin Sleziak]

odpoved na vasu prvu otazku: pretoze ak je polynom nad $\mathbb{Q}$ su pochopitelne jeho koeficienty nad $\mathbb{Q}$ a keby bol koren daneho polynomu iny ako $\sqrt[3]{2}$ musel by byt koeficient polynomu nejaky nasobok $\sqrt[3]{2}$ a to by nebolo racionalne cislo a preto musi byt koren prave $\sqrt[3]{2}$.

Toto nie celkom dáva zmysel.
Snažíte sa tu zdôvodniť, že ak $a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{2^2}$ je racionálne a $b\ne0$, tak $\sqrt[3]{2}$ je koreňom nejakého kvadratického polynómu. Nevidím, ako to, čo je napísané vyššie, súvisí s touto otázkou.
Skúsim vás trochu naviesť správnym smerom: Ak $a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{2^2}=c$, kde $a,b,c\in\mathbb Q$, viete potom napísať nejaký polynóm druhého stupňa

odpoved na vasu druhu otazku: je ireducibilny nad $\mathbb{Q}$ pretoze uz sa neda rozlozit na jednoduchsie polynomy nad $\mathbb{Q}$, pretoze by sme dostali napr $\sqrt[3]{2}$ co nieje racionalne.

Tu nie celkom rozumiem, čo chcete povedať. Čo myslíte pod "pretoze by sme dostali napr $\sqrt[3]{2}$"? Kde by sme dostali $\sqrt[3]{2}$? Chcete tým povedať, že by to vystupovalo ako koeficient polynómu? Alebo že by to bol jeden z koreňov polynómu?
Skúsim sa znovu spýtať niečo, čo by mohlo viesť správnym smerom. (Netvrdím, že to je jediná možnosť ako to zdôvodniť.)
Vedeli by ste povedať, ako vyzerajú všetky tri korene polynómu $x^3-2$ v $\mathbb C$?

komentar: Ja by som nedaval ako odpoved nieco comu nerozumiem...mam pocit ze tomu rozumiem. Skopiroval som to od slova do slova, pretoze som myslel ze ked uz mi odpoved niekto poradil tak je jedno ci to je mojimi slovami, alebo nie. Redukovatelny bol moj volny preklad zo slova ireducible, dakujem uz budem vediet.

V princípe nemá dôvod neveriť vám. Snáď časom dospejeme k tomu, že buď ma nejako presvedčíte, že tomu naozaj rozumiete, alebo vás nejako presvedčím ja, že v tom, čo ste napísali sú stále nejaké medzery..
Azda ale sám uznáte, keď si prečítate, čo ste tam napísali, že to ďaleko od zrozumiteľného riešenia. (Myslíte si, že keby ste tieto veci ukázali nejakému vášmu náhodne vybratému spolužiakovi, tak bez ďalšieho dovysvetlenia by tomu rozumel? Priznám sa, že aj ja by som asi mal problémy pochopiť o čo ide, keby som nemal k dispozícii aj "originál".)

[Martin Sleziak]

Aby sme to nejako uzavreli, skúsim dovysveliť nejaké veci z tohoto riešenia.

ak $b\ne0$, potom $a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{2^2}$ je racionalne ak $\sqrt[3]{2}$ je koren kvadratickeho polynomu nad $\mathbb Q$.

$\sqrt[3]{2}$ je koren $(x^3-2)$, co je neredukovatelne nad $\mathbb Q$.

takze kazdy polynom co ma koren $\sqrt[3]{2}$ musi byt nasobok $(x^3-2)$. Z coho vyplyva, ze $\sqrt[3]{2}$ nieje koren ziadneho kvadratickeho polynomu nad $\mathbb Q$.

a preto
ak $a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{4}$ je racionalne, potom $b=0$.
ale $\sqrt[3]{2}$ je iracionalne, a preto $a=0$.

teda:

$1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}$ su linearne nezavisle nad $\mathbb Q$.

Najprv sa pristavím pri tomto:

ak $b\ne0$, potom $a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{2^2}$ je racionalne ak $\sqrt[3]{2}$ je koren kvadratickeho polynomu nad $\mathbb Q$.

Predchádzajúci zápis vlastne hovorí, že pre $x=\sqrt[3]{2}$ platí $bx^2+ax=0$. Teda $\sqrt[3]{2}$ je koreň kvadratického polynómu $bx^2+ax$.

$\sqrt[3]{2}$ je koren $(x^3-2)$, co je neredukovatelne nad $\mathbb Q$.

Polynóm $x^3-2$ je naozaj ireducibilný na $\mathbb Q$, t.j. nedá sa rozložiť na súčin polynómov nižšieho stupňa s racionálnymi koeficientami. Ak by sa dal, tak jeden z nich by musel mať stupeň 1. A z toho by sme dostali, že $x^3-2$ má racionálny koreň.

takze kazdy polynom co ma koren $\sqrt[3]{2}$ musi byt nasobok $(x^3-2)$. Z coho vyplyva, ze $\sqrt[3]{2}$ nieje koren ziadneho kvadratickeho polynomu nad $\mathbb Q$.

Toto si tiež zaslúžiť nejaké zdôvodnenie. Nech $\sqrt[3]2$ je koreň polynómu $f(x)$. Tento polynóm sa dá napísať v tvare $f(x)=(x^3-2)q(x)+r(x)$, kde stupeň $r(x)$ je najviac dva a $r(x)$ má riacionálne koeficienty. (Toto je delenie polynómov so zvyškom.) Ale už sme ukázali, že $\sqrt[3]2$ nie je koreň žiadneho kvadratického polynómu. Teda mám $r(x)=0$ a $f(x)=(x^3-2)q(x)$. Čiže $f(x)$ je skutočne násobkom polynómu $x^3-2$.

V tomto riešení sa používajú nejaké veci o polynómoch. Možno by toto riešenie mohlo byť jasnejšie potom, čo absolvujete Algebru 2. (Ale niečo o polynómoch možno viete aspoň niektorí aj zo strednej školy.)

Značím si za túto úlohu 1 bod. (Do istej miery za snahu a do istej miery za čiastočné riešenie.)

[Martin Sleziak]

V tomto riešení sa používajú nejaké veci o polynómoch. Možno by toto riešenie mohlo byť jasnejšie potom, čo absolvujete Algebru 2. (Ale niečo o polynómoch možno viete aspoň niektorí aj zo strednej školy.)

Táto úloha sa dá riešiť aj tak dosť stredoškolsky - vezmem si rovnosti, ktoré poznám a upravujem.
Môžete sa pozrieť napríklad na riešenie úlohy 3.3.2f tu, kde sa dokazuje viac-menej to isté, iba pre $\sqrt[3]5$ namiesto $\sqrt[3]2$.
Viacero riešení sa dá nájsť aj tu: Proving that $\sqrt[3] {2} ,\sqrt[3] {4},1$ are linearly independent over rationals - Mathematics Stack Exchange.