msleziak.com

10. prednáška (26.4.):

Euklidovské okruhy. Definícia, $\mathbb Z$ aj $F[x]$ sú Euklidovské okruhy.
Okruhy hlavných ideálov. Definícia, dokázali sme, že každý euklidovský okruh je OHI. Každý nenulový prvoideál v OHI je maximálny.
Deliteľnosť v okruhoch hlavných ideálov. Vysvetlili sme si, že $(a)\subseteq(b)$ $\Leftrightarrow$ $b\mid a$. Zadefinovali sme najväčší spoločný deliteľ a ukázali sme si, že je to presne generátor ideálu $(a,b)=\{ax+by; x,y\in R\}$. Z toho vyplýva, že $\gcd(a,b)$ sa dá vyjadriť v tvare $ax+by$; nehovorili sme však o tom, ako takéto vyjadrenie v prípade okruhov $\mathbb Z$ a $F[x]$ aj nájsť - tomu sa budeme venovať na cvičeniach. (Ale ak by sa to niekto chcel pozrieť skôr, než sa k tomu dostaneme na cviku, tak v texte k prednáške to je vcelku podrobne vysvetlené aj s príkladmi.)

11. prednáška (3.5.):
Gaussove okruhy (okruhy s jednoznačným rozkladom) Definícia ireducibilného prvku a okruhu s jednoznačným rozkladom. Ireducibilné prvky v OHI súvisia s prvoideálmi, platí pre ne $p\mid ab$ $\Rightarrow$ $p\mid a$ $\lor$ $p\mid b$.
Okruh hlavných ideálov je okruh s jednoznačným rozkladom.
Podielové pole. Túto časť sme preskočili, zostala vám na samostatné naštudovanie. (T.j. skúšať sa bude tak, ako keby som ju odprednášal.)
Charakteristika poľa. Zadefinovali sme charakteristiku poľa. Ukázali sme, že to môže byť iba $\infty$ alebo prvočíslo a že konečné polia majú konečnú charakteristiku. Dokázali sme aj to, že počet prvkov konečného poľa musí byť tvaru $p^n$, kde $p$ je prvočíslo. (Tam sme využili fakt, že ak $K$ je nadpole $F$, tak je to súčasne vektorový priestor nad $F$. Tento fakt má síce veľmi jednoduchý dôkaz, ale bude ešte často užitočný.)
Vetu na konci tejto kapitoly, ktorá hovorí, že v poli charakteristiky $p$ platí $(a+b)^p=a^p+b^p$, sme vynechali - pravdepodobne sa nestihneme dostať k dôkazu o jednoznačnosti $p^n$-prvkového poľa, kde túto vetu budeme potrebovať.)

12. prednáška (10.5.):
Rozšírenia polí. Definícia rozšírenia a konečného rozšírenia, stupeň rozšírenia. Pre každý ireducibilný polynóm $p(x)$ existuje rozšírenie, v ktorom má koreň. toto rozšírenie má rovnaký stupeň ako polynóm $p(x)$ a je jednoznačne určené - je izomorfné s $F[x]/(p(x))$. Príklady konečných rozšírení ($\mathbb C$, $\mathbb Q(\sqrt2)$ a 4-prvkové pole $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$.)
Vetu 5.3.13, ktorá hovorí v istom zmysle o rozšírení izomorfizmu z poľa $F$ na väčšie pole $F(u)$, vynecháme. (Povieme si k nej stručný komentár, ak sa dostaneme k miestu, kde ju budem potrebovať.)

Algebraické rozšírenia. Definícia algebraického prvku, algebraického rozšírenia, minimálneho polynómu.

Ešte sem azda napíšem aj takúto vec, hoci na prednáške som ju nespomenul. V tých pár príkladoch, ktoré sme robili, sme dostali také rozšírenie, kde $p(x)$ už mal toľko koreňov, koľko je jeho stupeň. T.j. dal sa rozložiť na koreňové činitele, (Vlastne to tak aj muselo vyjsť, keďže sme robili s polynómom stupňa 2.) Nefunguje to však vždy, nejaký kontrapríklad je aj tu na fóre: viewtopic.php?t=456

13. prednáška (17.5.):
Algebraické rozšírenia. Prvok $u$ je algebraický práve vtedy, keď $F(u)$ je konečné rozšírenie $F$. Každé konečné rozšírenie je algebraické. Dôkaz rovnosti $[K:F]=[K:L].[L:F]$ a popis bázy dvojnásobného rozšírenia. Ukážka výpočtu stupňa rozšírenia a minimálneho polynómu pre $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)=\mathbb Q(\sqrt2+\sqrt3)$.

Rozkladové polia. Túto tému som už nestihol. (Nebudem ju ani skúšať.) Základná informácia v poslednej kapitole je: Pre každé $q=p^n$ existuje (až na izomorfizmus jediné) pole s $q$ prvkami a je to rozkladové pole polynómu $x^q-x$ nad $\mathbb Z_p$. (Teda vlastne máme kompletný popis konečných polí.)
Pre ľudí, čo si to budú chcieť pozrieť samostatne: Časť o tom, že existuje $q$-prvkové pole by mala byť ľahšia. (Jedna vec, ktorá sa tam využíva a preskočili sme ju na prednáške, je dôkaz rovnosti $(a+b)^p=a^p+b^p$ v poli charakteristiky $p$, čo je v podstate iba binomická veta a overenie, že $p\mid\binom pk$ pre $0<k<p$. Druhá je popis polynómov, ktoré nemajú násobné korene, pomocou derivácie. Tú tiež nie je ťažké dokázať.) V dôkaze jednoznačnosti sa odvolávam na viacero viet, ktorých dôkaz som na prednáške preskočil. Ale keď si aj povedzme nepozriete ich dôkazy, tak tie vety sú vcelku uveriteľné. (V tom zmysle, že hovoria niečo také ako napríklad: Ak mám dve izomorfné polia a v nich mám koreň "toho istého" ireducibilného polynómu - pod "toho istého" sa rozumie, že koeficienty som zobrazil príslušný izomorfizmus - tak dostanem izomorfné rozšírenia, ak pridám takýto koreň. Takto sformulované to vyzerá, že by to malo platiť - veď predsa izomorfné je "v podstate to isté". Keď to človek chce dokázať poriadne, tak treba spraviť aj nejaké technické detaily.) Čiže dôkaz jednoznačnosti sa dá čítať aj tak, že niektorým častiam dôkazu iba uveríte, resp. si skúsite premyslieť, čo to vlastne hovorí, a ak vám bude jasné, čo spomínané vety hovoria, tak technické detaily dôkazu možno nie sú až také veľmi dôležité.)