msleziak.com

3.2.23 ak pre $ \forall x \in (G, \circ )$ platí $x \circ x = e$ tak je to komutatívna grupa.
Zadanie nám hovorí, že pre každý prvok patriaci grupe platí, že je sám sebe inverzný. $x \circ x = e$ zľava prenásobíme $a$ a potom aj sprava $a$, kde $ a \in G $ to je $ a \circ x \circ x \circ a = a \circ e \circ a$ to sa rovná (keďže $\circ$ je asociat. operácia a $e$ je inverzný prvok) $ a \circ x \circ x \circ a = a \circ a $ teda $ a \circ x \circ x \circ a = e $ potom vďaka asociativite $ (a \circ x) \circ (x \circ a) = e $ prenásobíme sprava $(x \circ a)^{-1}$ dostaneme $ (a \circ x) \circ e = e \circ (x \circ a)^{-1} $ to je $ (a \circ x)= (x \circ a)^{-1} $ Keďže každý prvok je sám sebe inverzný $ (x \circ a)^{-1} = (x \circ a) $ z toho dostávame $ (a \circ x)= (x \circ a) $ teda jedná sa o komutatívnu grupu.

JG: OK, 1 bod

4.1.2 Dokážte, že F je vekt. priestor nad F
Inými slovami (ak som správne porozumel zadaniu, že F označuje pole), nech $F=(G,+,*)$ je pole, potom $((G,+,*)(G,+)*)$ je vektorový priestor.
$(G,+)$ je komutatívna grupa, pretože $(G,+,*)$ je pole.
ďalej pre $\forall a,b,c, \in G$ platí
$(a+b)*c= a*c + b*c$ pretože v poli $(G,+,*)$ platí distributívny zákon.
$a*(b+c) = a*b + b*c$ opäť, pretože v poli $(G,+,*)$ platí distributívny zákon.
$(a*b)*c = a*(b*c)$ ak $a,b,c \neq 0$ tak to platí, lebo $(G,+,*)$ je pole a $(G-\{0\},*)$ je grupa
ak sa aspoň jedno z nich rovná 0, podľa tvrdenia 3.3.4 v učebnici platí $x*0=0=0*x$. Teda ak je jeden z prvkov $a,b,c$ rovný nule, $(a*b)*c = a*(b*c)$ bude $0=0$. Ak je viacero prvkov rovných nule, tak to bude tiež $0=0$, pretože ak za $x$ dosadíme nulu, dostávame $0*0=0$. Teda F spĺňa vš. podmienky v.p, teda F je vekt. priestor nad F.

JG: OK, 1 bod