msleziak.com

Na štátnych skúškach má byť vyskúšaných $38$ študentov. Skúšky budú prebiehať štyri dni, študenti budú rozdelení na jednotlivé dni a pre každý deň sa určí poradie v akom budú vyskúšaní. Koľko existuje všetkých možností? (T.j. koľko je možných zoznamov, ktoré budú vyzerať tak, že je na nich napísané pre každý deň poradie študentov.) Pripúšťame i možnosť, že niektorý deň bude vyskúšaných nula študentov.

Riešenie

Ak máme $n$ študentov, tak máme $n!$ spôsobov ako ich usporiadať.
Ak sme si zvolili poradie, tak rozdeliť ich na štyri dni je to isté ako vybrať počty v jednotlivé dni, t.j.
$$p_1+p_2+p_3+p_4=n.$$
Pre výber počtov máme $\binom{n+3}3$ možností.

Celkovo dostávame
$$n!\cdot\binom{n+3}3 = \frac{(n+3)!}6$$
možností.

Ešte poznamenám, že vlastne to celé môžeme riešiť bez ohľadu na poradie a na konci vynásobiť $n!$

Skúšanie možností

Ak by sme chceli vypisovať všetky možnosti, tak vypísať naozaj všetky sa nám podarí naozaj asi iba pre veľmi malé $n$.

Podľa výsledku, ktorý sme práve napísali, by počet možností mal byť
$$
\begin{array}{c|c}
n & \frac{(n+3)!}6 \\\hline
1 & 4 \\\hline
2 & 20 \\\hline
3 & 120 \\\hline
4 & 840
\end{array}
$$

Ale aspoň pre $n=1$ a $n=2$ by sme azda mohli byť schopní vypísať všetky možné poradia.
V nasledujúcich tabuľkách každý riadok predstavuje jednu možnosť.

$$
\begin{array}{c|c|c|c}
D_1 & D_2 & D_3 & D_4 \\\hline
A & & & \\\hline
& A & & \\\hline
& & A & \\\hline
& & & A
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{c|c|c|c}
D_1 & D_2 & D_3 & D_4 \\\hline
A,B & & & \\\hline
B,A & & & \\\hline
& A,B & & \\\hline
& B,A & & \\\hline
& & A,B & \\\hline
& & B,A & \\\hline
& & & A,B \\\hline
& & & B,A \\\hline
A & B & & \\\hline
B & A & & \\\hline
A & & B & \\\hline
B & & A & \\\hline
A & & & B \\\hline
B & & & A \\\hline
& A & B & \\\hline
& B & A & \\\hline
& A & & B \\\hline
& B & & A \\\hline
& & A & B \\\hline
& & B & A \\\hline
\end{array}
$$