Súčin horných trojuholníkových je horná trojuholníková
Posted: Tue Dec 20, 2016 5:30 pm
V podstate si treba iba uvedomiť ako násobíme matice
$$
\left(\begin{array}{c}
\begin{array}{cccccccc} * & * & * & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & * \end{array}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & * & * & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & * \end{array}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & * & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & * \end{array}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{*} & \ddots & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \vdots \end{array}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{\ldots} & \ddots & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \vdots \end{array}\\
\boxed{\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & * & * & * \end{array}}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \ddots & \vdots \end{array}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & * \end{array}
\end{array}
\right)
\left(\begin{array}{cccccccc}
\begin{array}{c} * \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array} &
\begin{array}{c} * \\ * \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array} &
\boxed{\begin{array}{c} * \\ * \\ * \\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array}} &
\begin{array}{c} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ddots \\ \\ \\ \\ \\\end{array} &
\begin{array}{c} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \\ \ddots \\ \\ \\ \\\end{array} &
\begin{array}{c} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \\ \vphantom{\ddots} \\ * \\ \\ \\\end{array} &
\begin{array}{c} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \\ \vphantom{\ddots} \\ * \\ \ddots \\ \\\end{array} &
\begin{array}{c} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \\ \vphantom{\ddots} \\ * \\ \vdots \\ * \\\end{array}
\end{array}\right)
$$
Formálnejšie: Ak násobíme dve matice $A$, $B$ typu $n\times n$ a vieme, že pre $i>j$ platí $a_{ij}=b_{ij}=0$, tak pre $i>j$ máme
$$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = \sum_{k=1}^{i-1} a_{ik}b_{kj} + \sum_{k=i}^{n} a_{ik}b_{kj} = \sum_{k=1}^{i-1} 0b_{kj} + \sum_{k=i}^{n} a_{ik}0 = 0+0 =0.$$
V prvej sume sú všetky $a_{ik}$ nulové, lebo $k\le i-1<i$. V druhej sume sú všetky $b_{kj}$ nulové, lebo $k\ge i>j$.
$$
\left(\begin{array}{c}
\begin{array}{cccccccc} * & * & * & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & * \end{array}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & * & * & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & * \end{array}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & * & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & * \end{array}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{*} & \ddots & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \vdots \end{array}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{\ldots} & \ddots & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \vdots \end{array}\\
\boxed{\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & * & * & * \end{array}}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \ddots & \vdots \end{array}\\
\begin{array}{cccccccc} \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{*} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{\ldots} & * \end{array}
\end{array}
\right)
\left(\begin{array}{cccccccc}
\begin{array}{c} * \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array} &
\begin{array}{c} * \\ * \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array} &
\boxed{\begin{array}{c} * \\ * \\ * \\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array}} &
\begin{array}{c} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ddots \\ \\ \\ \\ \\\end{array} &
\begin{array}{c} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \\ \ddots \\ \\ \\ \\\end{array} &
\begin{array}{c} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \\ \vphantom{\ddots} \\ * \\ \\ \\\end{array} &
\begin{array}{c} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \\ \vphantom{\ddots} \\ * \\ \ddots \\ \\\end{array} &
\begin{array}{c} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \\ \vphantom{\ddots} \\ * \\ \vdots \\ * \\\end{array}
\end{array}\right)
$$
Formálnejšie: Ak násobíme dve matice $A$, $B$ typu $n\times n$ a vieme, že pre $i>j$ platí $a_{ij}=b_{ij}=0$, tak pre $i>j$ máme
$$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = \sum_{k=1}^{i-1} a_{ik}b_{kj} + \sum_{k=i}^{n} a_{ik}b_{kj} = \sum_{k=1}^{i-1} 0b_{kj} + \sum_{k=i}^{n} a_{ik}0 = 0+0 =0.$$
V prvej sume sú všetky $a_{ik}$ nulové, lebo $k\le i-1<i$. V druhej sume sú všetky $b_{kj}$ nulové, lebo $k\ge i>j$.