Z definície inverznej matice
Skúsme si uvedomiť, čo vieme z toho, že $BA=I$.
$$
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nn} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
& & \ddots & \\
0 & \ldots & 0 & a_{nn} \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
Pripomeňme, že o diagonálnych prvkoch $a_{ii}$ už vieme, že sú nenulové:
viewtopic.php?t=1007
Potom dostávame pre súčin napríklad na pozícii $(2,1)$:
$$b_{21}a_{11}=0.$$
Pretože $a_{11}\ne 0$, znamená to, že $b_{21}=0$.
Takže v druhom riadku máme pod diagonálou nuly.
Čo s tretím riadkom?
Na pozícii $(3,1)$ dostaneme:
$$b_{31}a_{11}=0$$
a hneď vidíme, že $b_{31}=0$.
Na pozícii $(3,2)$ dostaneme:
$$b_{31}a_{12}+b_{32}a_{22}=0.$$
Už vieme, že $b_{31}=0$. Takže vlastne máme
$$b_{32}a_{22}=0.$$
A ak $a_{22}\ne 0$, tak hneď máme $b_{32}=0$.
Podobne by sme vedeli postupovať s ostatnými riadkami.
Zostáva si rozmyslieť, či to aj pre ostatné riadky funguje.
A potom sa zamyslieť nad tým, ako to nejakým rozumným spôsobom zapísať.
Napríklad takto (alebo veľmi podobne) to v písomke napísali Mihály Kotiers a Simona Veselá.
Simona Veselá wrote:
Sporom. Označme $i$ najspodnejší riadok $A^{-1}$, kde je nenulové číslo pod uhlopriečkou a $j$ je stĺpec, kde sa v riadku $i$ vyskytol prvok pod uhlopriečkou.
Napríklad ak by matica $A^{-1}$ vyzerala takto
$$
\begin{pmatrix}
* & * & * & * & * & * \\
0 & * & * & * & * & * \\
0 & 0 & * & * & * & * \\
0 & 0 & 2 & * & * & * \\
0 & 5 & 1 & 0 & * & * \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * \\
\end{pmatrix}
$$
tak $i=5$ a $j$ môžeme zobrať napríklad $2$.
Vieme, že $j<i$.
Má platiť $A\cdot A^{-1}=I$.
Zoberme si $i$-ty riadok matice $A$ a $j$-ty stĺpec matice $A^{-1}$.
V tomto zápise predstavuje $*$ nenulové číslo a $\square$ ľubovoľné číslo (môže byť nulové aj nenulové).
$(\underset{(i-1)}{\underbrace{0,\dots,0}},*,\underset{n-i}{\underbrace{\square,\dots,\square}})$
$(\underset{(i-1)}{\underbrace{\square,\dots,\square}},*,\underset{n-i}{\underbrace{0,\dots,0}})$
Skalárny súčin týchto vektorov bude obsah políčka $(i,j)$ v súčine. Vidíme, že skalárny súčin bude
$$0+\dots+0+*\cdot*+0+\dots+0=*\cdot*\ne0.$$
Súčasne by to mal byť prvok na pozícii takej, že $j<i$ v jednotkovej matici $I$, čiže by sa mal rovnať nule. Dostávame spor.
Naznačím ešte aj priamy dôkaz - nepísal som ho celý, je tu napísané iba ako by sme si poradili s $i$-tym riadkom.
Lema. Nech $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\dots,\vec\alpha_n$ sú vektory z $F^n$ také, že $i$-ty vektor $\vec a_i$ má na prvých $(i-1)$ súradniciach nuly a $i$-ta súradnica je nenulová. Ak $b_1\vec\alpha_1+b_2\vec\alpha_2+\dots+b_n\vec\alpha_n=\vec x$, kde vektor $x$ má prvých $(k-1)$ súradníc nulových, tak $b_1=b_2=\dots=b_{k-1}=0$.\\Dôkaz tvrdenia je vlastne táto lema použitá pre $x=\vec e_k$, t.j. $k$-ty vektor zo štandardnej bázy.\\
Nejako si označme súradnice vektorov s ktorými pracujeme. Máme vlastne takúto situáciu:
\begin{align*}
\vec\alpha_1&=(a_{11},a_{12},\dots,a_{1,n-1},a_{1,n})\\
\vec\alpha_2&=(0,a_{22},\dots,a_{2,n-1},a_{2,n})\\
&\vdots\\
\vec\alpha_{n-1}&=(0,0,\dots,a_{n-1,n-1},a_{n-1,n})\\
\vec\alpha_{n}&=(0,0,\dots,0,a_{n-1,n})\\
\vec x&=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)
\end{align*}
Postupne sa pozeráme na rovnosti, ktoré dostaneme na jednotlivých súradniciach z $b_1\vec\alpha_1+b_2\vec\alpha_2+\dots+b_n\vec\alpha_n=\vec x$. Dokážeme indukciou na $i$ že pre $1\le i<k$ platí $b_i=0$.\\
Na prvej súradnici máme $b_1a_{11}=0$. (Sčítance $b_2a_{21}+b_3a_{31}+\dots+b_na_{n1}$ môžeme vynechať, lebo $a_{21}=a_{31}=\dots=a_{n1}=0$.) Pretože $a_{11}\ne0$, znamená to, že $b_1=0$. (Toto robíme iba ak $k>1$).\\
Na druhej súradnici máme $b_1a_{12}+b_2a_{22}=0$. Ak už vieme, že $b_1=0$, tak vlastne máme rovnosť $b_2a_{22}=0$, čo znamená, že $b_2=0$. (Opäť, tento krok robíme iba ak $k>2$, vtedy má $\vec x$ skutočne na druhej súradnici nulu.\\
Podobne by sme mohli postupovať ďalej. Indukčný krok by vyzeral takto: Ak $i<k$ a platí $b_1=\dots=b_{i-1}=0$, snažíme sa dokázať, že $b_i=0$.)
Pozrieme sa na $i$-tu súradnicu a dostaneme rovnosť
$$b_1a_{1,i}+b_2a_{2,i}+\dots+b_{i-1}a_{i-1,i}+b_ia_{i,i}=0.$$
Už vieme, že $b_1=b_2=\dots=b_{i-1}=0$. Po vynechaní nulových členov nám zostane iba
$$b_ia_{i,i}=0$$
a vďaka tom, že $a_{i,i}\ne0$, dostaneme $b_i=0$.