Skúškové písomky

[Martin Sleziak]

Ako som sľúbil, budem na fórum dávať zadania skúškových písomiek. (Predpokladám, že by ste si ich šírili medzi sebou - tak vám aspoň ušetrím trochu roboty; keďže mám k dispozícii zdroják, tak je ich pre mňa dať na web jednoduchšie.)

Nebudem písať riešenia - iba ak by sa mi zdalo, že veľa ľudí robilo podobné chyby a ak budem mať čas. (Ale samozrejme ak sa na niečo z týchto alebo akýchkoľvek iných úloh na fóre budete pýtať, tak sa budem snažiť nájsť si čas a odpovedať vám.)

[Martin Sleziak]

1. príklad: (4 body, spoločný pre všetky skupiny) Dokážte, že $\sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}2$.

Ostatné 2 príklady boli po 8 bodov a boli rozdielne v rôznych skupinách.

2. príklad:

• Dokážte, že
  $$\sum_{k=0}^n k2^k\binom nk = 2n3^{n-1}$$
  platí pre ľubovoľné celé číslo $n\ge1$.
• Dokážte, že
  $$\sum_{k=0}^n k(-1)^k\binom nk = 0$$
  platí pre ľubovoľné celé číslo $n>1$.
• Dokážte, že
  $$\sum_{k=0}^n k2^{n-k}\binom nk = n3^{n-1}$$
  platí pre ľubovoľné celé číslo $n\ge1$.

3. príklad:

• Nájdite počet celočíselných riešení rovnice
  $$x_1+x_2+x_3=13$$
  takých, že $0\le x_1 \le 4$, $0\le x_2\le 6$, $0\le x_3\le 7$.
• Nájdite počet celočíselných riešení rovnice
  $$x_1+x_2+x_3=13$$
  takých, že $0\le x_1 \le 4$, $0\le x_2\le 5$, $0\le x_3\le 8$.
• Nájdite počet celočíselných riešení rovnice
  $$x_1+x_2+x_3=13$$
  takých, že $0\le x_1 \le 4$, $0\le x_2\le 4$, $0\le x_3\le 9$.

[Martin Sleziak]

1. príklad: (4 body, spoločný pre všetky skupiny): Dokážte, že $\sum\limits_{k=0}^n \binom nk=2^n$.

Ostatné 2 príklady boli po 8 bodov a boli rozdielne v rôznych skupinách.

2. príklad

• Koľkými spôsobmi sa dá vybrať 4-prvková podmnožina množiny $\{1,2,\dots,10\}$, ktorá neobsahuje žiadne dve po sebe idúce čísla?
  (T.j. napríklad $\{1,4,6,10\}$ je vyhovujúca možnosť, ale $\{1,4,5,9\}$ je podmnožina, ktorú nechceme zarátať -- obsahuje čísla $4$ a $5$.)
• Koľkými spôsobmi sa dá vybrať 3-prvková podmnožina množiny $\{1,2,\dots,10\}$, ktorá neobsahuje žiadne dve po sebe idúce čísla?
  (T.j. napríklad $\{1,4,9\}$ je vyhovujúca možnosť, ale $\{4,5,9\}$ je podmnožina, ktorú nechceme zarátať -- obsahuje čísla $4$ a $5$.)

3. príklad:

• Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n$ platí
  $$\sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \binom nk = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}.$$
• Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n$ platí
  $$\sum_{k=1}^n k(k-1)\binom nk=n(n-1)2^{n-2}.$$

[Martin Sleziak]

• Dokážte, že $\sum\limits_{k=1}^n (2k-1) = n^2$.
• Majme dané dve rovnobežky $p$ a $q$. Na $p$ zvoľme $n$ rôznych bodov a na $q$ zvoľme $m$ rôznych bodov. Koľko je trojuholníkov s vrcholmi vo zvolených bodoch?
• Ukážte, že
  $$\binom{n}{0}\binom{n}{1}+\binom{n}{1}\binom{n}{2}+\dots+\binom{n}{n-1}\binom{n}{n}=\binom{2n}{n-1}.$$

[Martin Sleziak]

• Dokážte, že $$\binom nk = \binom n{n-k}.$$
• V rovnostrannom trojuholníku so stranou dĺžky $3$ sú umiestnené štyri body. Ukážte, že niektoré dva z nich majú vzdialenosť najviac $\sqrt3$.
• Dokážte, že platí $(n+1)^2 + (n+2)^2 + \dots + (2n)^2 = \frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}$.

[Martin Sleziak]

• Dokážte, že
  $$\sum_{k=0}^n 2^k=2^{n+1}-1.$$
• Dokážte, že pre ľubovoľné nezáporné celé číslo $n$ platí
  $$\sum_{k=0}^n k\binom nk=n2^{n-1}.$$
• Majme obdĺžnik so stranami $3$ a $4$. V tomto obdĺžniku je umiestnených:
  a) $7$ bodov;
  b) $5$ bodov.
  Zistite, v ktorých z týchto prípadov sa v obdĺžniku nutne musia nachádzať dva body, ktorých vzdialenosť je najviac $\sqrt5$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite.)