Determinant matice $n\times n$

[Martin Sleziak]

Toto sa týka, riešenia úlohy, ktorá je vyriešená tu: viewtopic.php?t=577

Chcem ale okomentovať iné riešenie, ktoré som dostal mailom:

Úlohou je vyrátať determinant
$D_n=
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots && \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 1 & 2
\end{vmatrix}$
(Úloha 6.2.20(4).)

Riešenie z mailu (trochu parafrázované, aby som nemusel všetko prepisovať):

Osobne som si to vyskúšal na nejakých konkrétnych maticiach rovnakého typu (napr. 5x5, 6x6)
A snažil som si to upraviť na redukovaný stupňovitý tvar aby som potom determinant dorátal už len tak že vynásobím prvky na hlavnej diagonále.
Moje úpravy pozostávali asi z toho, že som sa vždy snažil vynulovať tú jednotku pod hlavnou diagonálou.
Teda napr.
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{vmatrix}
\overset{(1)}=
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 &3/2& 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{vmatrix}
\overset{(2)}=
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 &3/2& 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &4/3& 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{vmatrix}
=\dots=
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 &3/2& 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &4/3& 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 &5/4& 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 &6/5\\
\end{vmatrix}
$$

$(1)$: Som prirátal $(-\frac12)$-násobok prvej rovnice k druhej;
$(2)$: Som prirátal $(-\frac23)$-násobok prvej druhej k tretej;
atď.

Z tohto viem už vyrátať determinant vynásobením prvkov na hlavnej diagonále: t.j
$$\frac21 \cdot \frac 32 \cdot \frac43 \cdot \frac54 \cdot \frac 65 = \frac{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}.$$

Potom som z tohto skúsil uhádnuť vzor ako by sa to mohlo správať pre maticu typu $n\times n$.

A prišiel som na to že by to azda mohlo vyzerať, že
$$D_n=\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)n!}{n!}=(n+1).\tag{*}$$

Čo som sa chcel spýtať je:

• Osobne som očakával nejaký konkrétny výsledok tak nie som si istý či môj postup je správny.
• A ak je môj postup správny, tak či neexistuje nejaký jednoduchší spôsob, respektíve všeobecnejší pre výpočet determinantu typu
  $n\times n$. Alebo či to stále funguje typom, že sa snažím uhádnuť nejaký vzor, na konkrétnych prípadoch a potom to uplatniť na zadaný determinant typu $n\times n$.

[Martin Sleziak]

...či môj postup je správny.

Ak porovnáte výsledok s tým, čo vyšlo tu viewtopic.php?t=577 tak naozaj správny výsledok je $D_n=n+1$.

V princípe ste správne ukázali, že to vyjde pre maticu $5\times 5$. (Jediná pripomienka je terminologická - že by som nehovoril o rovniciach ale o riadkoch matice.) A takisto z vášho postupu vidno, že to bude fungovať pre $4\times4$, $3\times3$ a všetky menšie.

Samozrejme, to že sme niečo overili pre $n=1,2,3,4,5$ neznamená, že to bude platiť pre ľubovoľné $n$.

Ako úplne korektné riešenie by som bral, ak by ste napísali niečo takéto:

Indukciou dokážem, že matica
$$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots && \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}$$ typu $n\times n$ sa dá upraviť riadkovými úpravami takého typu, ktoré nemenia determinant, na maticu
$$\begin{pmatrix}\frac21 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \frac32 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \frac43 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots && \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 0 & \frac{n}{n-1} & 1 \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \frac{n+1}n
\end{pmatrix}$$
t.j. na hornú trojuholníkovú maticu, ktorá má ako $k$-ty prvok na diagonále $a_{k,k}=\frac{k+1}k$, nad diagonálou prvky $a_{k,k+1}=1$ a všetky ostatné prvky sú nulové.

Ak by ste urobilli dôkaz toho tvrdenia matematickou indukciou (čo nie je veľmi ťažké) a z toho urobili záver, že determinant sa dá vypočítať vzťahom $(*)$, tak je to úplne správne riešenie.

Samozrejme, na to, aby sme prišli čo chceme dokazovať indukciou, veľmi pomohlo, že ste si vyskúšali niekoľko malých príkladov. Čiže to bola celkom užitočná vec s čím začať.

...či neexistuje nejaký jednoduchší spôsob, respektíve všeobecnejší pre výpočet determinantu typu $n\times n$.

Tu viewtopic.php?t=577 sa dá nájsť riešenie pomocou Laplaceovho rozvoja.

Určite vám neviem povedať nejaký všeobecný postup, čo by fungoval na každý príklad, kde dostanete nejakú maticu $n\times n$. (A asi je aj užitočné, aby ste dostali občas aj úlohy, kde treba skúsiť trochu porozmýšľať a prísť na nejaké riešenie sám. Asi by vás to tu začalo veľmi rýchlo nudiť, keby sme naozaj robili iba veci takého typu, že sa naučíte nejaký presný postup, ktorý potom opakujete na príkladoch, kde sa menia čísla.)

Ak by som mal povedať nejakú hrubú heuristiku, ktorá môže občas fungovať - a ktorú ste vlastne mali možnosť vidieť - tak by som povedal asi toľko, že:
* Ak tam mám veľa núl, oplatí sa skúsiť Laplaceov rozvoj. (Ako vidíte, môže to viesť na riešenie rekurencie.)
* Ak tam mám veľa podobných prvkov, oplatí sa nejaké riadky sčítať alebo odčítať a zjednodušiť si maticu. (Napríklad ak si spomínate na príklad 15 z 11deter.pdf, tak ten sme na cviku vyriešili tak, že sme najprv sčítali všetky riadky dokopy a potom to šlo už ľahko.)
* Ak náhodou zbadám, že zadaná matica je súčin nejakých jednoduchších matíc, tak to mi tiež môže pomôcť.

Ale určite netvrdím, že to čo som tu napísal, zafunguje na akýkoľvek príklad takéhoto typu, ktorý by ste mohli dostať.