msleziak.com

Sem budem priebežne písať, čo sme stihli na jednotlivých prednáškach. Občas pridám aj nejaké linky na veci týkajúce sa toho, čo sme práve prebrali.

Toto vlákno by som chcel rezervovať naozaj iba na to, že tu budem písať obsah prednášok. Keď budete chcieť na fórum napísať nejakú vec k nejakej konkrétnej veci, ktorá bola na prednáške, založte na to nový topic.

1. prednáška (21.2.):
Snažil som sa aspoň trochu na začiatku povedať niečo o tom, na aké veci sa Zornova lema a transfinitná indukcia dajú použiť. Ako príklad som použil Cauchyho funkcionálnu rovnicu.

Potom som ešte niečo porozprával o ZFC a o tom, čo znamená axiomatická a naivná teória množín. Ani nie tak kvôli tomu, že by bolo pre nás na tejto prednáške až tak podstatné detailne poznať všetky axiómy ZFC. Skôr preto, že viackrát na tejto prednáške sa stretneme s poznámkou typu: "Tento výsledok sa nedá dokázať v ZF." Alebo: "Na dôkaz tohoto výsledku je potrebná aspoň nejaká forma axiómy výberu.". Tak som chcel, aby bolo aspoň zhruba jasné, čo sa tým myslí.

Potom sme sa ešte trochu pozreli na dobre usporiadané množiny. Stihli sme definíciu dobre usporiadaných množín a vetu o indukcii na dobre usporiadaných množinách. (Nabudúce by sme sa chceli pozrieť na pár konkrétnych príkladov.)

Dám sem ešte linky na dva články z blogu Tima Gowersa, ktoré sa týkajú zhruba toho, kedy sa dá použiť Zornova lema (a je tam niečo aj o transfinitnej indukcii).

• How to use Zorn's Lemma: blog, tricki
• Just-do-it proofs: blog, tricki

K tomu, že som si ako úvodný príklad vybral práve Cauchyho rovnicu, ma inšpiroval práve tento blog.

2. prednáška (27.2.):
Dobre usporiadané množiny. Ešte sme si ukázali pár príkladov dobre usporiadaných množín.
Ekvivalenty axiómy výberu. Najprv sme prešli viacero podmienok, o ktorých je jednoduché ukázať, že sú ekvivalentné s axiómou výberu. (Existencia selektora, jednostranný inverz k surjekcii, karteziánsky súčin je neprázdny.)
Potom sme sformulovali viacero ďalších ekvivalentných tvrdení, ktoré sú tiež ekvivalentné s axiómou výberu, ale tu už budú dôkazy náročnejšie. Konkrétne sú to princíp dobrého usporiadania, Zornova lema a princíp maximality. (Princípom maximality sa však nebudeme veľmi zaoberať.)
Zatiaľ sme ukázali, že z WO vyplýva AC. (To bol vcelku ľahký dôkaz.) Potom sme ukázali, že zo ZL vyplýva AC. (Čo bola vlastne prvá ukážka typického dôkazu pomocou Zornovej lemy, na ktorú sme narazili na tejto prednáške.)

6.3. prednáška nebola.

3. prednáška (14.3.):
Ekvivalenty axiómy výberu. Ukázali sme, že ZL $\Rightarrow$ WO. (Dôkaz, že z axiómy výberu vyplýva Zornova lema urobíme, keď budeme mať k dispozícii ordinály a transfinitnú indukciu.)
Aplikácie Zornovej lemy. Dokázali sme Alexandrovu vetu o subbáze. Ukázali sme si aj ako sa pomocou nej dá dokázať Tichonovova veta.

Z doterajších dôkazov už by sme mohli mať zhruba predstavu o tom ako používať Zornovu lemu:

• Istú intuíciu o tom, že sa môže hodiť Zornova lema, dáva ak vieme nejaký objekt postupne konštruovať - chceli by sme robiť niečo indukciou, ale máme nekonečne veľa prvkov. (Toto môže byť aj indikácia toho, že sa môže hodiť transfinitná indukcia, ktorú sa budeme učiť neskôr.)
• Často tam robíme akési aproximácie objektu, ktorého existenciu chceme dokázať; a tie potom chceme nejako "spojiť" do kopy.
• Typicky (vo väčšine dôkazov založených na ZL) bude čiastočné usporiadanie inklúzia a horné ohraničenie reťazca dostaneme tak, že tento reťazec jednoducho zjednotíme.

Ešte raz pridám linky na dva články z blogu Tima Gowersa, ktoré sa týkajú zhruba toho, kedy sa dá použiť ZL.

• How to use Zorn's Lemma: blog, tricki
• Just-do-it proofs: blog, tricki

21.3 prednáška nebola

5. prednáška (28.3.):
Spojitosť a sekvenciálna spojitosť. viewtopic.php?t=1656
Existencia nemerateľnej množiny. (Vitaliho konštrukcia.)
Hahn-Banachova veta.

V súvislosti s existenciou nemerateľných množín je azda vcelku zaujímavý aj Banach-Tarského paradox. (Ten som ale na prednáške nespomenul.)

6. prednáška (3.4.)
Dobre usporiadané množiny. Ukázali sme, že pre monotónne injektívne zobrazenie $f\colon A\to A$ platí $a\le f(a)$ a nejaké dôsledky tohoto tvrdenia. Dokázali sme základnú vetu o dobre usporiadaných množinách.
Povedali sme si tiež, ako pomocou tejto vety a WO dostaneme porovnateľnosť kardinalít pre ľubovoľné dve množiny. (T.j. vždy platí $|A|\le|B|$ alebo $|B|\le|A|$.) To isté sa dá dokázať nie moc ťažko aj pomocou ZL. (Je to jedno z cvičení v texte a súčasne jedna z domácich úloh, ktoré sa dajú odovzdávať.)

7. prednáška (24.4.)
Ordinálne čísla. Naivný prístup k ordinálnym číslam. Definícia porovnávania ordinálnych čísel.
Každý ordinál má nasledovníka. Pre každú množinu ordinálnych čísel existuje suprémum. Každá množina ordinálnych čísel je dobre usporiadaná.
Platí, že $\alpha$ je ordinálny typ množiny $\{\beta\in\mathrm{Ord}; \beta<\alpha\}$. (Na to sa hodí použiť izomorfizmus medzi dobre usporiadanou $(A,\le)$ a $(\{A_a; a\in A\}, \subseteq)$.
Každý ordinál je nasledovník alebo limitný (t.j. suprémum všetkých ordinálov od neho menších).

My sme robili iba naivný (neaxiomatický) prístup k ordinálnym číslam. V ZFC by sme mohli použiť von Neumannovu definíciu ordinálnych čísel, pri ktorej platí priamo rovnosť $\alpha=\{\beta\in\mathrm{Ord}; \beta<\alpha\}$; t.j. každý ordinál sa rovná množine ordinálnych čísel od neho menších.

1. a 8. mája prednáška nebola.

8. prednáška (15.5.)
Transfinitná indukcia. Veta o transfinitnej indukcii. Veta o transfinitnej rekurzii.
Zornova lema. Pomocou transfinitnej indukcie sme ukázali, že z AC vyplýva ZL.
Kardinálna aritmetika. Ukázali sme, že pre nekonečné kardinály platí $\kappa\cdot\kappa=\kappa$.

9. prednáška (22.5.)
Ešte sme ako ďalšie aplikácie transfinitnej indukcie ukázali existenciu silno Darbouxovskej funkcie a existenciu algebraického uzáveru poľa.
Na konci som ešte stručne povedal niečo o induktívnej limite, keďže túto konštrukciu sme vlastne párkrát využili. (Aj keď v pomerne jednoduchom prípade - všetky zobrazenia boli vloženia a indexová množina bola lineárne usporiadaná.)