Prednášky LS 2016/2017

[jaroslav.gurican]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[jaroslav.gurican]

1. prednáška (23.2. 2017)

Zopakovanie definície grupy a alternatívne charakterizácie (jedna charakterizácia aj s dôkazom bola nová).
Pojem podgrupy a základné vlastnosti. Podgrupy generované množinou a cyklické grupy (cyklické podgrupy).
Homomorfizmus a izomorfizmus grúp, základné vlastnosti.

[jaroslav.gurican]

2. prednáška (2. 3. 2017)

Dokončenie vlastností homomorfizmov a izomorfizmov (časť jednej vety sme spravili aj vo všeobecnejšom znení ako je v skriptách - tvrdenie 2.3.9 (i)).
Mocniny prvku v grupe, rád prvku v grupe. Užitočné "vzorčeky" pre mocniny, iné označenie mocniny pre aditívne grupy (ako $(Z,+)$, $(Z_n,\oplus)$, tam pre $a\in G$ a $k\in Z$ namiesto $a^k$ používame označenie $k\times a$). Vlastnosti mocnín prvku súvisiace s pojmom rádu.

[jaroslav.gurican]

3. prednáška (9. 3. 2017)

Dokončili sme kapitolu o mocninách prvku, ráde prvku a o cyklických grupách (homomorfný obraz cyklickej grupy je cyklická grupa, pre rády prvku $a$ grupy $(G,\circ)$ a jeho homomorfného obrazu $f(a)$ platí $rad(f(a))|rad(a)$, cyklická grupa je množina (grupa) prvkov v tvare $\{a^n;n\in Z\}$ pre nejaký prvok $a\in G$, $n$-prvková cyklická grupa je izomorfná s $(Z_n,\oplus)$, nekonečná cyklická grupa je izomorfná so $(Z,+)$, každá podgrupa cyklickej grupy je cyklická).
Zopakovali sme pojem permutácie, zopakovaním vlastností permutácií a spravania sa kompozície permutácií (ako zobrazení) sme definovali grupy typu $(S_n,\circ)$, grupy permutácií $n$ prvkovej množiny $\{1,\dots,n\}$ s operáciou kompozície.
Pre permutáciu $\sigma\in S_n$ sme zadefinovali množinu hýbe$(\sigma)$ a dokázali sme, že $\{\sigma(k); k\in \text{hýbe}(\sigma)\}=\text{hýbe}(\sigma)$

[jaroslav.gurican]

4. prednáška (16. 3. 2017)

Disjunktné permutácie - komutovanie, rozklad permutácie na disjunktné cykly, rád permutácie ako prvku v grupe $(S_n,\circ)$, rád cyklickej permutácie a rád permutácie ako najmenší spoločný násobok rádov cyklov z jej rozkladu na disjunktné cykly.
(Tu som chcel dokázať všeobecnejšiu vetu, ale to sa mi nepodarilo - ten všeobecnejší variant, o ktorý som sa snažil neplatí, tak som sa vrátil k pôvodnej formulácii a ten dôkaz som dokončil, ten je jednoduchý).

[jaroslav.gurican]

5. prednáška (23. 3. 2017)

Dokončili sme veci súvisiace s paritou permutácií.
Definovali som ľavý aj pravý triedy, dokázali, že tvoria rozklad. Dokázali sme kritérium, kedy sa dve triedy $aH$ a $bH$ rovnajú. Dokázali sme, že medzi $H$ a $aH$ existuje bijekcia, čiže majú rovnako veľa prvkov. Definovali sme rozklad (ľavý) podľa podgrupy.

[jaroslav.gurican]

6. prednáška (30. 3. 2017)

Lagrangeova veta a jej dôsledky. Definovali sme pojem násobenia podmnožín v grupe, dokázali nejaké vlastnosti tohoto súčinu.
Uviedli sme vetu mnohých podmienok ekvivalentných s faktom, že pre pre podgrupu $H$ pre všetky $a\in G$ platí, že $aH=Ha$. Definovali sme pojem normálnej podgrupy grupy $G$ a dokázali, že jadro (každého) grupového homomorfizmu $f\colon G\to G'$je normálna podgrupa grupy $G$.