Za úlohu sme mali zistiť vzájomnú polohu - zistili sme, že sú rovnobežné.
Keď už máme príklad rovnobežných podpriestorov, tak sa poďme pozrieť na to, ako nájdeme ich vzdialenosť.
Z prednášky už viete, že ak sú dva afinné priestory rovnobežné, tak nám stačí zobrať ľubovoľný bod jedného z podpriestorov a hľadať vzdialenosť od druhého podpriestoru. Môžeme si teda zobrať napríklad bod $B\in p$ a rátať jeho vzdialenosť od $\alpha$.
Na nájdenie vzdialenosti bodu $B$ od $\alpha$ nám stačí nájsť jeho kolmý priemet $B^\bot$.
Teda vlastne chceme rátať
$$\rho(p,\alpha)=\rho(B,\alpha)=\rho(B,B^\bot).$$
Ako nájdeme $B^\bot$? Skúsme si zosumarizovať čo o ňom vieme.
Má patriť do roviny určenou bodmi $C$, $D$, $E$. Ak si nájdeme všeobecné vyjadrenie tejto roviny, tak nám to vlastne hovorí, že tento bod musí spĺňať
\begin{align*}
x_1+2x_2&=3\\
x_3+2x_4&=3
\end{align*}
Ďalej by mal patriť do podpriestoru prechádzajúceho bodom $B$, ktorý je kolmý na $\alpha$. (Volali ste ho kolmopremietací podpriestor a označovali $\pi^\bot_\alpha(B)$.)
Teda vektorová zložka tohoto priestoru je určená vektormi kolmými na rovinu $\alpha$, je to teda $[(1,2,0,0),(0,0,1,2)]$. (Tieto vektory vieme vyčítať z~všeobecného vyjadrenia $\alpha$.)
Bod $B$ spolu s týmito dvoma vektormi nám dá parametrické vyjadrenie afinného podpriestoru v tvare
\begin{align*}
x_1&=t\\
x_2&=4+2t\\
x_3&=5+s\\
x_4&=4+2s
\end{align*}
Prienik môžeme nájsť napríklad tak, že dosadíme parametrické vyjadrenie $\pi^\bot_\alpha(B)$ do všeobecnej rovnice roviny $\alpha$.
Spoiler:
Vzdialenosť teraz môžeme vyrátať ako
$$\rho(B,B^\bot)=|(1,2,2,4)|=\sqrt{1+2^2+2^2+4^2}=\sqrt{25}=\boxed{5}.$$
Môžeme aj skontrolovať, že $B^\bot$ je skutočne kolmý prienik, ak skontrolujeme, že $B^\bot$ patrí do roviny $\alpha$ a vektor $\overrightarrow{BB^\bot}$ je na túto rovinu kolmý.