msleziak.com

Nejaké poznámky k d.ú. 2: http://msleziak.com/vyuka/2016/temno/du02.pdf

Vo viacerých odovzdaných riešeniach som našiel niečo, čo vyzeralo zhruba takto:

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
P(x) & Q(x) & \underset{A}{\underbrace{(\forall x)(P(x)\Rightarrow Q(x))}} & \underset{B}{\underbrace{[(\forall x P(x) \Rightarrow \forall x Q(x))]}} & A\Rightarrow B \\\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\hline
\end{array}
$$

Takáto tabuľka mala byť použitá ako argument, prečo platí implikácia $A\Rightarrow B$.

V skutočnosti to čo je tam podľa mňa napísané, nemá veľa spoločné s dokazovaným tvrdením.
Prvá vec je, že za $P(x)$ ste si vždy zvolili jednu pravdivostnú hodnotu. Pritom to má byť tvrdenie, ktorého pravdivostná hodnota pre rôzne $x$ má byť rôzna.
Ešte by sa dalo pozerať na to tak, že sa pozeráte na jedno konkrétne $x$. Ale potom mi táto voľba nehovorí nič o platnosti $\forall P(x)$ (a ďalších podobných výrokov, ktoré sa tu vyskytujú.)

Azda by vás o tom, že toto skutočne nie je dobrý postup, mohlo presvedčiť keď sa zamyslíte, že rovnaký argument by sa dal bezo zmeny použiť na zdôvodenie $B\Rightarrow A$. To však určite pravda nie je.

Ako príklad si môžete zobrať reálne čísla a použiť $P(x)\equiv x>-1$ a $Q(x)\equiv x>1$.
Všimnite si, že potom $(\forall x)P(x)$ aj $(\forall x)Q(x)$ sú nepravdivé, a teda implikácia $B\equiv [(\forall x P(x) \Rightarrow \forall x Q(x))]$ platí.

Výrok $A\equiv (\forall x)(P(x)\Rightarrow Q(x))$ však pravdivý nie je.
Tento výrok by znamenal, že implikácia $P(x)\Rightarrow Q(x)$ platí pre ľubovoľné reálne číslo $x$.
Ak sa však pozrieme napríklad na $x=0$, tak $P(0)$ je pravda, $Q(0)$ je nepravda, takže implikácia $P(0)\Rightarrow Q(0)$ neplatí.

V jednej z odovzdaných d.ú. ste tvrdili, že takáto implikácia platí:
$$(\exists x)(P(x)\Rightarrow Q(x)) \Rightarrow [(\exists x)P(x) \Rightarrow (\exists x)Q(x)].$$
Toto nie je pravda.

Ako kontrapríklad si zoberte ľubovoľný výrok taký, že $Q(x)$ neplatí pre žiadne $x$. A ešte si zoberte $P(x)$, ktoré pre niektoré $x$ platí a pre nejaké iné $x$ neplatí.
Potom $(\exists x)(P(x)\Rightarrow Q(x))$ platí - ak sa pozrieme na $x$ pre ktoré $P(x)$ neplatí, tak tu máme $0\Rightarrow0$.
Súčasne $(\exists x)P(x)$ platí. A tiež $(\exists x)Q(x)$ neplatí. Teda implikácia na pravej strane je nepravdivá.

Ak chcete konkrétnejší príklad, tak sa pozerajme na reálne čísla a zoberme si $P(x)=x^2>0$ a $Q(x)=x^2<0$.
Výrok $(\exists x)(P(x)\Rightarrow Q(x))$ je pravdivý, lebo máme $P(0)\Rightarrow Q(0)$.
Súčasne implikácia na pravej strane neplatí. Výrok $(\exists x P(x))$ totiž platí - môžeme sa pozrieť napríklad na $x=1$ - ale $(\exists x) Q(x)$ neplatí.