DU4 - LS 2016/17 - karteziánsky súčin
Posted: Mon Mar 20, 2017 1:04 pm
Niečo k prvej časti d.ú. 4: http://msleziak.com/vyuka/2016/temno/du04.pdf
Tu sú linky na komentáre k tejto úlohe z minulých rokov:
viewtopic.php?t=508
viewtopic.php?t=344
viewtopic.php?t=98
Úloha sa dala riešiť aj s využitím tvrdení dokázaných v druhej časti - nájdete na uvedených linkách.
Napíšem sem niečo, čo budem asi hovoriť viackrát. Medzi podmnožiny môžem písať veci ako $\cap$, $\cup$, $\subseteq$. Logické spojky $\land$, $\lor$, $\Rightarrow$ môžem písať medzi výroky.
Teda napríklad zápis
$(A\cap C)\times (B\cap D) \Rightarrow (A\times B)\cap(C\times D)$
nedáva zmysel.
Takisto zápis $x\in(A\subseteq B)$ je nezmyselný. (Na pravej strane nie je množina. Ak chcem napísať symbol $\in$, tak za ním musí nasledovať množina.)
Ďalšie príklady zápisov, ktoré sa vyskytli v riešeniach, ale nedávajú zmysel resp. sú to nesprávne zápisy:
$A\times B \Leftrightarrow a\in A \land b\in B$ (ok by bolo: $(a,b)\in A\times B \Leftrightarrow a\in A \land b\in B$)
$a\in A \land b\in B \cup a\in C \land b\in C$ (V poriadku by bolo: $a\in A \land b\in B \lor a\in C \land b\in C$. Prípadne ak chcete dať jasne najavo, ktorá spojka sa aplikuje prvá: $(a\in A \land b\in B) \lor (a\in C \land b\in C)$.)
Kontrapríklady
Viacerí ste tvrdili, že tvrdenie uvedené v časti b) je pravdivé:
$(A\times B)\cup (C\times D)\supseteq (A\cup C)\times(B\cup D)$.
Skúste sa zamyslieť nad tým, čo sa stane, ak $A=D=\emptyset$ (a $B$, $C$ sú neprázdne).
(Alebo nejaké iné jednoduché kontrapríklady s konkrétnymi množinami. Nejaké nájdete aj v starších postoch, na ktoré som dal linky.)
Tu sú linky na komentáre k tejto úlohe z minulých rokov:
viewtopic.php?t=508
viewtopic.php?t=344
viewtopic.php?t=98
Úloha sa dala riešiť aj s využitím tvrdení dokázaných v druhej časti - nájdete na uvedených linkách.
Napíšem sem niečo, čo budem asi hovoriť viackrát. Medzi podmnožiny môžem písať veci ako $\cap$, $\cup$, $\subseteq$. Logické spojky $\land$, $\lor$, $\Rightarrow$ môžem písať medzi výroky.
Teda napríklad zápis
$(A\cap C)\times (B\cap D) \Rightarrow (A\times B)\cap(C\times D)$
nedáva zmysel.
Takisto zápis $x\in(A\subseteq B)$ je nezmyselný. (Na pravej strane nie je množina. Ak chcem napísať symbol $\in$, tak za ním musí nasledovať množina.)
Ďalšie príklady zápisov, ktoré sa vyskytli v riešeniach, ale nedávajú zmysel resp. sú to nesprávne zápisy:
$A\times B \Leftrightarrow a\in A \land b\in B$ (ok by bolo: $(a,b)\in A\times B \Leftrightarrow a\in A \land b\in B$)
$a\in A \land b\in B \cup a\in C \land b\in C$ (V poriadku by bolo: $a\in A \land b\in B \lor a\in C \land b\in C$. Prípadne ak chcete dať jasne najavo, ktorá spojka sa aplikuje prvá: $(a\in A \land b\in B) \lor (a\in C \land b\in C)$.)
Kontrapríklady
Viacerí ste tvrdili, že tvrdenie uvedené v časti b) je pravdivé:
$(A\times B)\cup (C\times D)\supseteq (A\cup C)\times(B\cup D)$.
Skúste sa zamyslieť nad tým, čo sa stane, ak $A=D=\emptyset$ (a $B$, $C$ sú neprázdne).
(Alebo nejaké iné jednoduché kontrapríklady s konkrétnymi množinami. Nejaké nájdete aj v starších postoch, na ktoré som dal linky.)