msleziak.com

V domácej úlohe č.7 sa vyskytli tvrdenia typu, že nejaké zobrazenie je injektívne (surjektívne) práve vtedy, keď spĺňa nejakú zadanú podmienku. Veľa z vás dokazovalo iba jeden smer. Skúsim sem detailne rozpísať riešenie jednej skupiny, aby bolo jasnejšie čo mám na mysli.

Nejaké staršie komentáre k tejto istej d.ú. sa dajú nájsť tu:
viewtopic.php?t=535
viewtopic.php?t=322
viewtopic.php?t=110

Pozrime sa na túto skupinu:

Nech $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}\newcommand{\Obr}[2]{#1[#2]}\newcommand{\Invobr}[2]{{#1}^{-1}[#2]}\Zobr fXY$ je zobrazenie. Dokážte:
$f$ je injekcia práve vtedy, keď pre ľubovoľné $A,B\subseteq X$ platí $$A\subseteq B \Leftrightarrow \Obr fA \subseteq \Obr fB\tag{*}.$$

Uvedomme si, že vlastne máme dokázať dve veci.
A. Ak $f$ je injekcia, tak spĺňa podmienku $(*)$.
B. Ak $f$ spĺňa podmienku $(*)$, tak je to injekcia.
(V riešeniach, ktoré ste odovzdali, zvyčajne chýbala časť B.)

A. Nech $f$ je injekcia. Chceme ukázať ekvivalenciu uvedenú v $(*)$.
$\boxed{\Rightarrow}$ Predpokladajme, že $A\subseteq B$.
Ak $y\in \Obr fA$, tak existuje $x\in A$ také, že $f(x)=y$.
Pretože $A\subseteq B$, platí potom aj $y=f(x)\in\Obr fB$.
Ukázali sme, že každý prvok $y\in\Obr fA$ patrí aj od $\Obr fB$. Tým je dokázané $\Obr fA\subseteq\Obr fB$.
$\boxed{\Leftarrow}$ Teraz predpokladajme, že $\Obr fA \subseteq \Obr fB$.
Nech $a\in A$. Potom platí $f(a)\in \Obr fA$.
To znamená, že aj $f(a)\in\Obr fB$.
Podľa definície obrazu množiny potom máme, že existuje $b\in B$ také, že $f(b)=f(a)$.
Lenže z injektívnosti dostaneme $b=a$. Tým sme vlastne zistili, že $a\in B$.
Ukázali sme, že ľubovoľný prvok $a\in A$ patrí aj do $B$, čím je dokázaná inklúzia $A\subseteq B$.

B. Postupujme nepriamo. Nech $f$ nie je injekcia.
Potom existujú $x_1\ne x_2$ také, že $f(x_1)=f(x_2)$.
Položme $A=\{x_1\}$ a $B=\{x_2\}$.
Všimnime si, že $\Obr fA=\Obr fB=\{f(x_1)\}$.
Ukázali sme, že existujú množiny $A$, $B$ také, že $\Obr fA\subseteq \Obr fB$, ale $A\not\subseteq B$.
Teda pre zobrazenie $f$ neplatí podmienka $(*)$.

EDIT: Dôkaz tohoto tvrdenia sa dá nájsť aj tu: viewtopic.php?t=110

K d.ú. 8 pridám len odkaz na komentáre z minulých rokov:
viewtopic.php?t=543
viewtopic.php?t=360
viewtopic.php?t=132

Ešte v súvislosti s otázkami, ktoré som dostal k podobnej úlohe, doplním nejaké poznámky.

1. Pozrime sa ešte na podmienku $(*)$. Táto podmienka má tvar ekvivalencie, my sme dokazovali každú implikáciu zvlášť. Všimnime si, že keď sme dokazovali implikáciu $\Rightarrow$ (zľava doprava), tak sme tam nepotrebovali surjektívnosť. Čiže pre ľubovoľné zobrazenie platí
$$A\subseteq B \Rightarrow f[A]\subseteq f[{B}].$$
Surjektívnosť je použitá v druhej časti.

2. Z tohto by asi mohlo byť vidieť aj to, že ak by sme v $(*)$ nahradili $\Rightarrow$ namiesto $\Leftrightarrow$, tak už nedostaneme ekvivalentnú podmienku so surjektívnosťou.
Z podmienky $$A\subseteq B \Rightarrow f[A]\subseteq f[{B}] \tag{**}$$ surjektívnosť zobrazenia $f$ nevyplýva.
Z podmienky $$A\subseteq B \Leftarrow f[A]\subseteq f[{B}] \tag{***}$$ vyplýva surjektívnosť - stačí si rozmyslieť, že to je ekvivalentné s $(*)$.

3. Nemalo by byť ťažké vymyslieť kontrapríklad, že bez surjektívnosti tvrdenie zo zadania neplatí. (Teda ide o príklad zobrazenia $f$ a množín $A$, $B$ pre ktoré platí $f[A]\subseteq f[{B}]$, ale $A$ nie je podmnožinou $B$. Ak by bol s hľadaním príkladu problém, tak sa oplatí pozrieť to čo je vyššie napísané v časti B a to by asi mohlo pomôcť nájsť kontrapríklad.)
Teda ak by ste napísali nejaký dôkaz a myslíte si, že sa vám podarilo dokázať podmienku $(*)$ pričom ste nikde v dôkaze nepoužívali injektívnosť, tak treba niekde hľadať chybu. (A jedna z možností ako ju hľadať, je pozerať sa na to čo tvrdíte vo vašom dôkaze a či to funguje ak to vyskúšate na konkrétnom kontrapríklade.)