Rozdiel medzi vzorom množiny a obrazom v inverznom zobrazení

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}\newcommand{\Invobr}[2]{\inv{#1}[#2]}\newcommand{\Obr}[2]{#1[#2]}$Ak máme zobrazenie $\Zobr fXY$ a $B$ je podmnožina $Y$, tak sme definovali vzor množiny $B$ ako množinu tých prvkov, ktoré sa zobrazia do $B$.
$$\Invobr fB= \{x\in X; f(x)\in B\}.$$
Teda $x\in \Invobr fB$ práve vtedy, ked $f(x)\in B$.

Hoci sa v označení vyskytuje $\inv f$, neznamená to, že to má musí existovať inverzné zobrazenie - vzor množiny definujeme pre ľubovoľné zobrazenie, bez ohľadu na to, či existuje inverzné zobrazenie alebo nie.

Zápis $x\in \Invobr fB$ $\Lra$ $(\exists b\in B) \inv f(b) = x$ teda nie je správny. (Prinajmenšom nie vo všeobecnosti - môžete si rozmyslieť, že ak by existovalo inverzné zobrazenie, tak by to bolo to isté.)

Podobný zápis - ktorý by fungoval - by bol $(\exists b\in B)x\in\inv f(b)$; pretože sme sa dohodli, že $\inv f(b)$ používame ako stručnejší zápis namiesto $\Invobr f{\{b\}}$. Otázka je, či takýto zápis dôkaz skôr nekomplikuje.

Môžete sa potom pýtať, ako zistíme, či $\Invobr fB$ označuje vzor množiny $B$ v zobrazení $\Zobr fXY$ alebo obraz tejto množiny v inverznom zobrazení $\Zobr {\inv f}YX$. Zvyčajne s kontextu. V prípade domácej úlohy, kde sa to vyskytlo, išlo o cvičenia na vzor a obraz množiny. Navyše sme nikde v predpokladoch nemali napísané, že by mali byť dané zobrazenia bijekcie. (Takže nevieme, či existuje inverzné zobrazenie.)