msleziak.com

Nájdite vzdialenosť medzi priamkami $l_1$ a $l_2$:
$l_1=\{(2+t,-1-2t,2+2t,1-t); t\in\mathbb R\}$; $l_2=\{(3-t,1+2t,-1-2t,2+t); t\in\mathbb R\}$.

$\newcommand{\abs}[1]{|{#1}|}\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$

Sú to rovnobežné priamky $(2,-1,2,1)+[(1,-2,2,-1)]$ a $(3,1,-1,2)+[(1,-2,2,-1)]$.
Ak sme si už uvedomili, že sú rovnobežné, tak stačí nájsť vzdialenosť bodu $A=(2,-1,2,1)$ od priamky $l_2$.

Priemet do $V^\bot$.
Vlastne stačí nájsť priemet vektora $\vekt{AB}=(1,2,-3,1)$ do $V^\bot$, kde $V=[(1,-2,2,-1)]$.
Jednotkový vektor v smere $V$ je $\vec u = \frac1{\sqrt{10}}(1,-2,2,1)$ a priemet do $V$ bude $\vekt{AB}\vec u^T \vec u =
\frac1{10} \langle (1,2,-3,1),(1,-2,2,-1) \rangle (1,-2,2,-1) = -(1,-2,2,-1) = (-1,2,-2,1)$.
Priemet do $V^\bot$ je $(2,0,-1,0)$. Jeho dĺžka je $\sqrt5$.

Kolmý priemet bodu.
Pretože sú rovnobežné, stačí nájsť priemet ktoréhokoľvek bodu z $l_1$ do $l_2$. Teda hľadáme $A^\bot\in l_2$ tak, aby vektor $\vekt{AA^\bot}$ bol kolmý na $l_1$.
$\vekt{AA^\bot}=(1+t,2-2t,-3+2t,1-t)$.
Kolmosť nám dá podmienku $\langle (1+t,2-2t,-3+2t,1-t),(1,-2,2,-1)\rangle=0$, t.j.
\begin{align*}
(1+t)+(-4+4t)+(-6+4t)+(-1+t)&=0\\
-10+10t&=0\\
t&=1
\end{align*}
čo znamená $A^\bot=(4,-1,1,1)$.
Vzdialenosť je $\abs{\vekt{AA^\bot}}=\abs{(2,0,-1,0)}=\sqrt5$.

Kolmopremietacia nadrovina.
Kolmý priemet $A^\bot$ môžeme nájsť aj pomocou kolmopremietacej nadroviny. Vieme, že má normálový vektor $(1,-2,2,-1)$ a má prechádzať bodom $A$. Z toho dostaneme rovnicu pre $\pi^\bot_{l_2}(A)$:
$$x_1-2x_2+2x_3-x_4=7.$$
A prienik medzi kolmopremietacou nadrovinou a priamkou $l_2$ dostaneme ako
\begin{align*}
(3+t)-2(1-2t)+2(-1+2t)-(2-t)&=7\\
-3+10t&=7\\
-10+10t&=0\\
t&=1
\end{align*}
a dostávame rovnaký výsledok ako pri predošlom postupe: $A^\bot=(4,-1,1,1)$ a $\abs{\vekt{AA^\bot}}=\abs{(2,0,-1,0)}=\sqrt5$.

Minimalizácia vzdialenosti.
Pýtame sa, kedy je minimálna hodnota
\begin{align*}
|AX|^2
&=(1+t)^2+(2-2t)^2+(-3+2t)^2+(1-t)^2\\
&=10t^2-20t+15\\
&=10(t^2-2t+1)+5\\
&=10(t-1)^2+5
\end{align*}
Zistili sme, že minimálna hodnota pre $|AX|^2$ je $5$, teda minimálna hodnota vzdialenosti $|AX|$ je $\sqrt5$.
($X$ tu označuje ľubovoľný bod priamky $l_2$.)

Chyby, ktoré sa vyskytovali v písomkách

Z jednej písomky:

Hľadáme bod $A^\bot=(a_1,a_2,a_3,a_4)$.
Skalárny súčin musí byť nula, teda
$$2a_1-a_2+2a_3+a_4=0.$$

Toto by bol buď skalárny súčin bodov $A$ a $A^\bot$; čo vôbec nedáva zmysel. (Skalárne môžeme násobiť body a nie vektory.)
Dalo by sa na to pozerať ako na skalárny súčin vektorov $\overrightarrow{OA}$ a $\overrightarrow{OA^\bot}$. Lenže tieto vektory nijako nesúvisia s tým čo potrebujeme - my chceme aby vektor $\overrightarrow{AA^\bot}$ bol kolmý na smerový vektor priamky.