msleziak.com

Posted: **Wed May 10, 2017 2:01 pm**

Nájdite všetky hodnoty parametra $a\in \mathbb R$, pre ktoré je kvadratická forma $$(2-a)x_1^2 + (2-a)x_2^2 - (4+a)x_3^2 + 4x_1x_2 - 8x_1x_3 + 8x_2x_3$$ kladne definitná.

Matica tejto kvadratickej formy je
$\begin{pmatrix}
2-a& 2 &-4 \\
2 &2-a& 4 \\
-4 & 4 &-4-a
\end{pmatrix}$. Podľa Sylvestrovho kritéria nám stačí skontrolovať, kedy sú rohové determinanty kladné.

$D_1=2-a>0$ nám dá podmienku $a<2$.

$D_2=\begin{vmatrix}
2-a& 2 \\
2 &2-a
\end{vmatrix} = (a-2)^2-2^2 = (a-4)a > 0$ znamená $a\in(-\infty,0)\cup(4,\infty)$.

$$
D_3=\begin{vmatrix}
2-a& 2 &-4 \\
2 &2-a& 4 \\
-4 & 4 &-4-a
\end{vmatrix}=-(a-4)^2(a+8)>0
$$
nám dá podmienku $a<-8$.

Keď sa pozrieme na všetky podmienky, ktoré sme dostali, tak výsledok je $\boxed{a<-8}$.

K výpočtu determinantu, prípadne nájdeniu koreňov:

Spoiler:

Posted: **Wed May 10, 2017 2:02 pm**

Riešenie cez vlastné hodnoty

Pozrime sa ešte na iný pohľad na túto istú úlohu. (Ktorý vedie k veľmi podobnému riešeniu, aj keď s trochu iným zdôvodnením.)

Označme
$$A=\begin{pmatrix}
2 & 2 &-4 \\
2 & 2 & 4 \\
-4 & 4 &-4
\end{pmatrix}.$$
Našu úlohu môžeme preformulovať tak, že sa pýtame, kedy je matica $A-aI$ kladne definitná.

Symetrická matica je kladne definitná práve vtedy, keď má kladné vlastné hodnoty. (Ak vlastné hodnoty symetrickej matice označíme $d_1$, $d_2$, $d_3$, tak o nej vieme, že je ortogonálne podobná s diagonálnou maticou $\operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3)$. Diagonálna matica je kladne definitná práve vtedy, keď hodnoty na diagonále sú kladné.)
Ak poznáme vlastné hodnoty $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ matice $A$, tak vlastné hodnoty matice $A-aI$ sú $\lambda_1-a$, $\lambda_2-a$, $\lambda_3-a$. (Toto je pomerne ľahké dokázať - pridal som to aj medzi úlohy, ktoré môžete riešiť na fóre.)

Vieme vypočítať vlastné hodnoty matice $A$, sú to $4$, $4$, $-8$. (Môžete aj skontrolovať, že $(1,1,0)$ a $(-2,0,1)$ sú vlastné vektory k vlastnému číslu $4$, pre vlastné číslo $-8$ máme vlastný vektor $(1,-1,2)$.)

Vlastné hodnoty matice $A-aI$ sú potom $4-a$, $4-a$, $-8-a$.

Ak majú byť všetky vlastné hodnoty kladné, tak musí platiť $-8-a>0$, t.j. $a<-8$.

Táto úvaha nám nijako výrazne nezjednodušila výpočty. (Vlastné čísla nájdeme ako korene charakteristického polynómu, ten nájdeme rátaním toho istého determinantu ako v predošlom postupe. Nanajvýš sme si teda ušetrili počítanie dvoch menších determinantov.) Ale je to aspoň trochu iný pohľad na ten istý problém.

Posted: **Wed May 10, 2017 2:02 pm**

Niektoré chyby vo vašich riešeniach

Sylvestrovo kritérium funguje iba pre symetrické matice. Čiže ak tú istú kvadratickú formu zapíšete pomocou inej matice, ktorá už nie je symetrická, tak rohové determinanty vám nedajú informáciu u kladnej či zápornej definitnosti.

msleziak.com

Kladná definitnosť matice s parametrom

Kladná definitnosť matice s parametrom

Re: Kladná definitnosť matice s parametrom

Re: Kladná definitnosť matice s parametrom