Prienik potenčných množín
Posted: Thu May 18, 2017 2:03 pm
Máme dokázať
$$\mathcal P(A\cap B) = \mathcal P(A) \cap \mathcal P(B).$$
Pripomeňme, že $\mathcal P(S)=\{X; X\subseteq S\}$, teda týmto symbolom označujeme množinu všetkých podmnožín danej množiny.
Vlastne teda máme dokázať:
\begin{align*}
X\in \mathcal P(A\cap B) &\Leftrightarrow X\in \mathcal P(A) \cap \mathcal P(B)\\
X\in \mathcal P(A\cap B) &\Leftrightarrow (X\in \mathcal P(A)) \land (\mathcal P(B))\\
X\subseteq A\cap B &\Leftrightarrow (X\subseteq A) \land (X\subseteq B)
\end{align*}
Zistili sme, že vlastne pôvodná úloha je to isté, ako dokazovať, že výrok $X\subseteq A\cap B$ je ekvivalentný s tým, že $X\subseteq A$ a súčasne $X\subseteq B$. (Niektorí z vás ste na tomto mieste skončili a prehlásili to za očividné. Ja som očakával aspoň nejaké stručné zdôvodnenie - ale nestŕhal som veľa bodov, ak ste ho neuviedli.)
Poďme sa teda pozrieť, ako by sme takéto niečo vedeli dokázať. Je veľa možností ako to robiť. Poznamenám, že niektorí z vás ste sa to snažili prepísať na výroky s kvantifikátormi - čo je úplne ok, ak to spravíte správne. Zdá sa mi však jednoduchšie aj prehľadnejšie ak to napíšeme v prirodzenom jazyku.
Chceme teda dokázať
$$X\subseteq A\cap B \Leftrightarrow (X\subseteq A) \land (X\subseteq B)$$
$\boxed{\Rightarrow}$
Prepodokladajme, že $X\subseteq A\cap B$.
Ak si zoberieme ľubovoľné $x\in X$, tak máme $x\in A\cap B$, čiže $x\in A$ a súčasne $x\in B$.
Vidíme, že z $x\in X$ vyplýva $x\in A$, čo dokazuje platnosť inklúzie $X\subseteq A$.
Takisto máme, že z $x\in X$ vyplýva $x\in B$, čo znamená $X\subseteq B$.
$\boxed{\Leftarrow}$
Predpokladajme, že platí $X\subseteq A$ ak $X\subseteq B$.
Uvažujme ľubovoľné $x\in X$. Pre tento prvok platí $x\in A$ a tiež $x\in B$. To znamená, že $x\in A\cap B$.
Ukázali sme, že z $x\in X$ vyplýva $x\in A\cap B$.
Tým je dokázaná inklúzia $X\subseteq A\cap B$.
$$\mathcal P(A\cap B) = \mathcal P(A) \cap \mathcal P(B).$$
Pripomeňme, že $\mathcal P(S)=\{X; X\subseteq S\}$, teda týmto symbolom označujeme množinu všetkých podmnožín danej množiny.
Vlastne teda máme dokázať:
\begin{align*}
X\in \mathcal P(A\cap B) &\Leftrightarrow X\in \mathcal P(A) \cap \mathcal P(B)\\
X\in \mathcal P(A\cap B) &\Leftrightarrow (X\in \mathcal P(A)) \land (\mathcal P(B))\\
X\subseteq A\cap B &\Leftrightarrow (X\subseteq A) \land (X\subseteq B)
\end{align*}
Zistili sme, že vlastne pôvodná úloha je to isté, ako dokazovať, že výrok $X\subseteq A\cap B$ je ekvivalentný s tým, že $X\subseteq A$ a súčasne $X\subseteq B$. (Niektorí z vás ste na tomto mieste skončili a prehlásili to za očividné. Ja som očakával aspoň nejaké stručné zdôvodnenie - ale nestŕhal som veľa bodov, ak ste ho neuviedli.)
Poďme sa teda pozrieť, ako by sme takéto niečo vedeli dokázať. Je veľa možností ako to robiť. Poznamenám, že niektorí z vás ste sa to snažili prepísať na výroky s kvantifikátormi - čo je úplne ok, ak to spravíte správne. Zdá sa mi však jednoduchšie aj prehľadnejšie ak to napíšeme v prirodzenom jazyku.
Chceme teda dokázať
$$X\subseteq A\cap B \Leftrightarrow (X\subseteq A) \land (X\subseteq B)$$
$\boxed{\Rightarrow}$
Prepodokladajme, že $X\subseteq A\cap B$.
Ak si zoberieme ľubovoľné $x\in X$, tak máme $x\in A\cap B$, čiže $x\in A$ a súčasne $x\in B$.
Vidíme, že z $x\in X$ vyplýva $x\in A$, čo dokazuje platnosť inklúzie $X\subseteq A$.
Takisto máme, že z $x\in X$ vyplýva $x\in B$, čo znamená $X\subseteq B$.
$\boxed{\Leftarrow}$
Predpokladajme, že platí $X\subseteq A$ ak $X\subseteq B$.
Uvažujme ľubovoľné $x\in X$. Pre tento prvok platí $x\in A$ a tiež $x\in B$. To znamená, že $x\in A\cap B$.
Ukázali sme, že z $x\in X$ vyplýva $x\in A\cap B$.
Tým je dokázaná inklúzia $X\subseteq A\cap B$.