msleziak.com

Nech $I\ne\emptyset$ a pre každé $i\in I$ je $A_i$ množina. Dokážte, že $B\subseteq\bigcap\limits_{i\in I} A_i$ platí práve vtedy, keď pre každé $i\in I$ platí $B\subseteq A_i$.

$\boxed{\Rightarrow}$ Predpokladajme, že $B\subseteq\bigcap\limits_{i\in I} A_i$.
Nech $i_0\in I$. Uvažujme ľubovoľný prvok $b\in B$.
Potom $b$ patrí do $\bigcap\limits_{i\in I} A_i$, čo znamená, že $b\in A_i$ pre každé $i\in I$.
Špeciálne platí aj $B\subseteq i_0$.
Ukázali sme, že pre ľubovoľné $i_0\in I$ platí $B\subseteq A_{i_0}$

$\boxed{\Leftarrow}$
Prepokladajme, že pre každé $i\in I$ platí $B\subseteq A_i$.
Nech $b\in B$. Potom pre každé $i\in I$ platí $b\in A_i$.
Vidíme teda, že $b\in\bigcap\limits_{i\in I} A_i$.
Ukázali sme, že $B\subseteq\bigcap\limits_{i\in I} A_i$.

(V dôkaze prvej implikácie som zaviedol označenie $i_0$ iba preto, aby niekoho náhodou neplietlo, že písmeno $i$ sa vyskytuje aj v $\bigcap\limits_{i\in I} A_i$.)