- $A^2$ a $B^2$ sú podobné
- $A^{-1}$ a $B^{-1}$ sú podobné
- $A^T$ a $B^T$ sú podobné
Riešenie
Vo všetkých troch častiach vlastne stačí použiť definíciu podobnosti matíc.
a) Predpokladáme teda, že $B=PA\inv P$ pre nejakú regulárnu maticu $P$.
$$B^2=(PA\inv P)(PA\inv P) = PA (\inv P P) A\inv P = PAA\inv P=PA^2\inv P$$
Teda aj $A^2$ a $B^2$ sú podobné.
Takmer rovnako by sme to vedeli ukázať pre $A^n$, kde $n$ je ľubovoľné prirodzené číslo. To sme využili napríklad v dôkaze, že podobné matice majú rovnaký minimálny polynóm: viewtopic.php?t=657
b) Pre inverznú maticu dostaneme
$$\inv B=\inv{(PA\inv P)}=\inv{(\inv P)}\inv A\inv P=P\inv A\inv P$$
Teda aj $\inv A$ a $\inv B$ sú podobné.
c) Ak robíme s transponovanou maticou tak
$$B^T=(PA\inv P)^T=(\inv P)^TA^TP^T = \inv{(P^T)}A^TP^T$$
(Vieme, že ak $P$ je regulárna, tak aj $P^T$ je regulárna a $(\inv P)^T=\inv{(P^T)}$.)
Ukázali sme, že aj $A^T$ a $P^T$ sú podobné.
Dalo by sa použiť aj to, že sa podobné matice predstavujú to isté zobrazenie. Potom by sme sa v a) pozerali na zobrazenie $f^2=f\circ f$, v b) na inverzné zobrazenie $f^{-1}$. V časti c) by bolo treba použiť duálne zobrazenie - to ešte len budete preberať.